Slovní úlohy na Pythagorovu větu

Slovní úlohy ti ukážou, jak se Pythagorova věta používá v reálném životě. Následující příklady jsou typické a často se objevují v písemkách.

> 💡 Postup u každé slovní úlohy:

> 1. Pozorně si přečti zadání.

> 2. Načrtni si obrázek – pravoúhlý trojúhelník s označenými stranami.

> 3. Identifikuj, co je přepona a co odvěsny.

> 4. Dosaď do vzorce a vypočítej.

> 5. Nezapomeň odpověď napsat i slovy s jednotkami.

Žebřík opřený o stěnu

Úloha: Žebřík dlouhý $5$ m je opřený o stěnu tak, že jeho pata je $3$ m od stěny. Do jaké výšky $h$ sahá žebřík na stěně?

Žebřík tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníku, vzdálenost paty od stěny a výška na stěně tvoří odvěsny.

h^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16

h = 16 = 4 m

Odpověď: Žebřík sahá do výšky $4$ m.

Úhlopříčka obdélníku

Úloha: Obdélník má rozměry $a = 6$ cm a $b = 8$ cm. Vypočítej délku jeho úhlopříčky $u$ .

Úhlopříčka obdélníku rozděluje obdélník na dva pravoúhlé trojúhelníky. Strany obdélníku jsou odvěsny, úhlopříčka je přepona.

u^{2} = a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

u = 100 = 10 cm

Odpověď: Úhlopříčka obdélníku má délku $10$ cm.

Úhlopříčka čtverce

Úloha: Čtverec má stranu $a = 5$ cm. Jaká je délka jeho úhlopříčky?

Ve čtverci jsou obě strany pravoúhlého trojúhelníku stejné:

u^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = 2 \cdot 25 = 50

u = 50 \approx 7, 07 cm

Odpověď: Úhlopříčka čtverce má délku přibližně $7, 07$ cm.

> 💡 Vzorec pro úhlopříčku čtverce: $u = a 2$

Vzdálenost dvou bodů

Úloha: Město $A$ je $30$ km severně a $40$ km východně od města $B$ . Jaká je vzdušná vzdálenost mezi městy?

Představ si pravoúhlý trojúhelník: jedna odvěsna $30$ km (sever), druhá $40$ km (východ), přepona je vzdušná vzdálenost.

d^{2} = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 900 + 1600 = 2500

d = 2500 = 50 km

Odpověď: Vzdušná vzdálenost je $50$ km.

> 👉 Podrobnější vysvětlení: Vzdálenost dvou bodů v rovině

Výška rovnoramenného trojúhelníku

Úloha: Rovnoramenný trojúhelník má základnu $z = 12$ cm a ramena $r = 10$ cm. Vypočítej jeho výšku $v$ .

Výška rovnoramenného trojúhelníku protíná základnu v polovině. Vzniká pravoúhlý trojúhelník, kde rameno je přepona, polovina základny je jedna odvěsna a výška je druhá odvěsna.

v^{2} = r^{2} - (\frac{z}{2})^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64

v = 64 = 8 cm

Odpověď: Výška trojúhelníku je $8$ cm.

Nejkratší trasa

Úloha: Park má tvar obdélníku s rozměry $80$ m a $60$ m. Cesta vede po obvodu parku, ale lze ji projít i diagonálně přes park. O kolik metrů je diagonální cesta kratší než cesta po dvou sousedních stranách?

Krok 1: Diagonála parku.

d = 8 0^{2} + 6 0^{2} = 6400 + 3600 = 10000 = 100 m

Krok 2: Cesta po dvou sousedních stranách.

80 + 60 = 140 m

Krok 3: Rozdíl.

140 - 100 = 40 m

Odpověď: Diagonální cesta je o $40$ m kratší.

Slovní úlohy na Pythagorovu větu – řešené příklady