Slovní úlohy na Pythagorovu větu

Slovní úlohy ti ukážou, jak se Pythagorova věta používá v reálném životě. Následující příklady jsou typické a často se objevují v písemkách.

💡 Postup u každé slovní úlohy:
1. Pozorně si přečti zadání.
2. Načrtni si obrázek – pravoúhlý trojúhelník s označenými stranami.
3. Identifikuj, co je přepona a co odvěsny.
4. Dosaď do vzorce a vypočítej.
5. Nezapomeň odpověď napsat i slovy s jednotkami.

Žebřík opřený o stěnu

Úloha: Žebřík dlouhý

5

m je opřený o stěnu tak, že jeho pata je

3

m od stěny. Do jaké výšky

h

sahá žebřík na stěně?

Žebřík tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníku, vzdálenost paty od stěny a výška na stěně tvoří odvěsny.

h^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16

h = 16 = 4 m

Odpověď: Žebřík sahá do výšky

4

Úhlopříčka obdélníku

Úloha: Obdélník má rozměry

a = 6

cm a

b = 8

cm. Vypočítej délku jeho úhlopříčky

u

Úhlopříčka obdélníku rozděluje obdélník na dva pravoúhlé trojúhelníky. Strany obdélníku jsou odvěsny, úhlopříčka je přepona.

u^{2} = a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

u = 100 = 10 cm

Odpověď: Úhlopříčka obdélníku má délku

10

cm.

Úhlopříčka čtverce

Úloha: Čtverec má stranu

a = 5

cm. Jaká je délka jeho úhlopříčky?

Ve čtverci jsou obě strany pravoúhlého trojúhelníku stejné:

u^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = 2 \cdot 25 = 50

u = 50 \approx 7, 07 cm

Odpověď: Úhlopříčka čtverce má délku přibližně

7, 07

cm.

💡 Vzorec pro úhlopříčku čtverce: $u = a 2$

Vzdálenost dvou bodů

Úloha: Město

A

30

km severně a

40

km východně od města

B

. Jaká je vzdušná vzdálenost mezi městy?

Představ si pravoúhlý trojúhelník: jedna odvěsna $30$ km (sever), druhá $40$ km (východ), přepona je vzdušná vzdálenost.

d^{2} = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 900 + 1600 = 2500

d = 2500 = 50 km

Odpověď: Vzdušná vzdálenost je

50

km.

👉 Podrobnější vysvětlení: Vzdálenost dvou bodů v rovině

Výška rovnoramenného trojúhelníku

Úloha: Rovnoramenný trojúhelník má základnu

z = 12

cm a ramena

r = 10

cm. Vypočítej jeho výšku

v

Výška rovnoramenného trojúhelníku protíná základnu v polovině. Vzniká pravoúhlý trojúhelník, kde rameno je přepona, polovina základny je jedna odvěsna a výška je druhá odvěsna.

v^{2} = r^{2} - (\frac{z}{2})^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64

v = 64 = 8 cm

Odpověď: Výška trojúhelníku je

8

cm.

Nejkratší trasa

Úloha: Park má tvar obdélníku s rozměry

80

m a

60

m. Cesta vede po obvodu parku, ale lze ji projít i diagonálně přes park. O kolik metrů je diagonální cesta kratší než cesta po dvou sousedních stranách? Krok 1: Diagonála parku.

d = 8 0^{2} + 6 0^{2} = 6400 + 3600 = 10000 = 100 m

Krok 2: Cesta po dvou sousedních stranách.

80 + 60 = 140 m

Krok 3: Rozdíl.

140 - 100 = 40 m

Odpověď: Diagonální cesta je o

40

m kratší.

Slovní úlohy na Pythagorovu větu – řešené příklady