Vzdálenost dvou bodů v rovině

Pythagorovu větu lze použít také v souřadnicové soustavě – pomáhá nám vypočítat vzdálenost dvou bodů, pokud známe jejich souřadnice.

---

Obsah článku

• Odvození vzorce
• Vzorec pro vzdálenost
• Řešené příklady
• Praktické využití

---

Odvození vzorce

Mějme dva body $A=[x_1,y_1]$ a $B=[x_2,y_2]$ v souřadnicové soustavě. Spojnice $AB$ tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami.

• Vodorovná odvěsna má délku $|x_2-x_1|$.
• Svislá odvěsna má délku $|y_2-y_1|$.

Podle Pythagorovy věty platí:

---

Vzorec pro vzdálenost

> 💡 Při umocnění rozdílu nezáleží na pořadí – $(x_2-x_1{)}^2=(x_1-x_2{)}^2$. I záporné rozdíly dají po umocnění kladné číslo.

---

Řešené příklady

Příklad 1: Vypočítej vzdálenost bodů $A=[1,2]$ a $B=[4,6]$.

Odpověď: $|AB|=5$.

---

Příklad 2: Vypočítej vzdálenost bodů $C=[-2,1]$ a $D=[3,13]$.

Odpověď: $|CD|=13$.

---

Příklad 3: Vypočítej vzdálenost bodů $P=[0,0]$ a $Q=[6,8]$.

Odpověď: $|PQ|=10$.

---

Praktické využití

Vzorec na vzdálenost dvou bodů se používá všude tam, kde pracujeme se souřadnicemi:

• 🗺️ Mapy a navigace – vzdušná vzdálenost dvou míst na mapě s mřížkou.
• 🎮 Počítačové hry – výpočet, jak daleko je hráč od cíle.
• 📐 Geometrie – ověření, zda jsou strany útvaru stejně dlouhé (například zda je trojúhelník rovnoramenný).
• 📡 Fyzika – vzdálenost, kterou urazilo těleso v dvojrozměrném pohybu.

---

Související články

• Pythagorova věta – kompletní průvodce
• Vzorec Pythagorovy věty
• Slovní úlohy
• Pythagorova věta v prostoru

Procvič si

• 📊 Slovní úlohy
• 🎯 Smíšené úlohy