Pythagorejské trojice

Pythagorejská trojice je trojice přirozených čísel $(a, b, c)$ , pro kterou platí

a^{2} + b^{2} = c^{2} .

Jinými slovy, jsou to délky stran pravoúhlého trojúhelníku, které jsou celá čísla. Pythagorejské trojice jsou v učebnicích oblíbené, protože s nimi vycházejí „pěkné" výsledky bez desetinných míst.

Nejznámější trojice (3, 4, 5)

Trojice $(3, 4, 5)$ je úplně nejznámější. Ověřme ji:

3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2} ✓

Pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami $3$ a $4$ má tedy přeponu přesně $5$ . Tuto trojici znali už staří Egypťané – pomocí ní sestrojovali pravé úhly při stavbě pyramid.

Primitivní pythagorejské trojice

Primitivní pythagorejská trojice je taková, ve které čísla $a$ , $b$ , $c$ nemají společného dělitele většího než $1$ – jinými slovy, nedají se všechna tři vydělit stejným číslem.

Příklady primitivních trojic:

$(3, 4, 5)$
$(5, 12, 13)$
$(8, 15, 17)$
$(7, 24, 25)$
$(20, 21, 29)$
$(9, 40, 41)$

Násobky trojic

Z každé pythagorejské trojice můžeme vytvořit další tak, že všechna tři čísla vynásobíme stejným přirozeným číslem. Vzniklá trojice bude také pythagorejská.

Příklad: Vynásobme trojici $(3, 4, 5)$ číslem $2$ :

(6, 8, 10)

6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 1 0^{2} ✓

A číslem $3$ :

(9, 12, 15)

9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 1 5^{2} ✓

Z jedné primitivní trojice $(3, 4, 5)$ tak získáváme nekonečně mnoho dalších: $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ , $(12, 16, 20)$ , $(15, 20, 25)$ a tak dále.

Seznam nejpoužívanějších trojic

Tyto trojice se vyplatí mít „v hlavě" – urychlí ti řešení úloh:

$a$	$b$	$c$
----:	----:	----:
3	4	5
5	12	13
6	8	10
7	24	25
8	15	17
9	12	15
9	40	41
11	60	61
12	16	20
20	21	29

Jak vytvořit novou trojici

Existuje hezký vzorec, kterým lze generovat primitivní pythagorejské trojice. Pro libovolná přirozená čísla $m > n > 0$ platí:

a = m^{2} - n^{2}, b = 2 mn, c = m^{2} + n^{2}

Příklad: Pro $m = 2$ , $n = 1$ :

$a = 4 - 1 = 3$
$b = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$
$c = 4 + 1 = 5$

Dostali jsme trojici $(3, 4, 5)$ .

Pro $m = 3$ , $n = 2$ :

$a = 9 - 4 = 5$
$b = 12$
$c = 9 + 4 = 13$

Dostali jsme trojici $(5, 12, 13)$ .

Související články

Procvič si

✏️ Ověření pravoúhlosti
🎯 Smíšené úlohy

Pythagorejské trojice – (3,4,5) a další