Vzorec Pythagorovy věty

Pythagorovu větu lze zapsat jedinou rovnicí, ale z ní vyplývá několik praktických tvarů, které se hodí v různých situacích. V tomto článku si je všechny projdeme.

Obsah článku

Základní vzorec
Vzorec pro přeponu
Vzorec pro odvěsnu
Proč druhá mocnina
Shrnutí vzorců

Základní vzorec

V pravoúhlém trojúhelníku označme:

$a$ , $b$ – odvěsny (strany přiléhající k pravému úhlu)
$c$ – přepona (strana naproti pravému úhlu)

Pak platí:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Slovy: součet druhých mocnin odvěsen se rovná druhé mocnině přepony.

Vzorec pro přeponu

Pokud znáš obě odvěsny a hledáš přeponu, vyjádříš $c$ z rovnice tak, že odmocníš obě strany:

c = a^{2} + b^{2}

> 📌 Pamatuj: Při výpočtu přepony se $a^{2}$ a $b^{2}$ vždy sčítají.

Příklad: $a = 6$ , $b = 8$

c = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10

Vzorec pro odvěsnu

Pokud znáš přeponu a jednu odvěsnu, druhou spočítáš odečtením:

a = c^{2} - b^{2}

b = c^{2} - a^{2}

> 📌 Pamatuj: Při výpočtu odvěsny se od $c^{2}$ vždy odečítá druhá mocnina známé odvěsny.

Příklad: $c = 17$ , $b = 8$

a = 1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225 = 15

> ⚠️ Výraz pod odmocninou musí být kladný. Pokud ti vyjde záporné číslo, něco jsi zaměnil – pravděpodobně přeponu a odvěsnu.

Proč druhá mocnina

Druhá mocnina ve vzorci není náhoda – pochází z obsahu čtverce. Původně se Pythagorova věta dokazovala geometricky: nad každou stranou pravoúhlého trojúhelníku se sestrojí čtverec a obsah čtverce nad přeponou je přesně tak velký jako součet obsahů dvou čtverců nad odvěsnami.

obsah mal \overset{e}{ˊ} ho \overset{c}{ˇ} tverce a^{2} + obsah mal \overset{e}{ˊ} ho \overset{c}{ˇ} tverce b^{2} = obsah velk \overset{e}{ˊ} ho \overset{c}{ˇ} tverce c^{2}

> 👉 Klasický geometrický důkaz: Důkaz Pythagorovy věty a historie

Shrnutí vzorců

Hledáme	Vzorec
Přeponu $c$	$c = a^{2} + b^{2}$
Odvěsnu $a$	$a = c^{2} - b^{2}$
Odvěsnu $b$	$b = c^{2} - a^{2}$
Ověření pravoúhlosti	$a^{2} + b^{2} = ? c^{2}$

Vzorec Pythagorovy věty – všechny tvary a odvození