Důkaz Pythagorovy věty a krátká historie

Pythagorova věta není jen vzorec k zapamatování – stojí za ní pěkný geometrický důkaz, který si můžeš sám ukázat i pomocí narýsovaného obrázku.

Obsah článku

Krátká historie
Geometrický důkaz
Algebraický důkaz
Zajímavosti

Krátká historie

Větu znali už před více než $4000$ lety – babylonské hliněné tabulky obsahují seznamy pythagorejských trojic. Také staří Egypťané pomocí trojice $(3, 4, 5)$ vytyčovali pravé úhly při stavbě pyramid.

Větu po sobě dostala podle Pythagora ze Samu (asi $570-495$ př. n. l.), řeckého matematika a filozofa. Pythagoras pravděpodobně nebyl první, kdo větu znal, ale jeho škola ji jako první dokázala obecně pro každý pravoúhlý trojúhelník.

Nejznámější geometrický důkaz pochází z knihy Základy od Eukleida (asi $300$ př. n. l.). Dnes existuje více než $400$ různých důkazů této věty – jeden z nich prý sestavil i americký prezident James Garfield.

Geometrický důkaz

Nejjednodušší důkaz využívá dva velké čtverce se stejnou stranou $a + b$ , které různě rozdělíme.

První rozdělení

Velký čtverec rozdělíme na:

čtverec se stranou $a$ → obsah $a^{2}$
čtverec se stranou $b$ → obsah $b^{2}$
dva stejné obdélníky $a \times b$ → dohromady $2 ab$
(každý obdélník můžeme rozdělit úhlopříčkou na dva pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami $a$ , $b$ )

Celkový obsah je:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Druhé rozdělení

Tentýž čtverec můžeme rozdělit jinak: vložíme do něj čtyři stejné pravoúhlé trojúhelníky (s odvěsnami $a$ a $b$ ) tak, aby uvnitř vznikl nový čtverec pomocí přepon $c$ .

čtyři trojúhelníky → dohromady obsah $4 \cdot \frac{1}{2} ab = 2 ab$
vnitřní čtverec se stranou $c$ → obsah $c^{2}$

Celkový obsah je:

(a + b)^{2} = 2 ab + c^{2}

Závěr

Obě rozdělení popisují týž velký čtverec, takže se jejich obsahy musí rovnat:

a^{2} + 2 ab + b^{2} = 2 ab + c^{2}

Po odečtení $2 ab$ z obou stran dostáváme:

a^{2} + b^{2} = c^{2} ■

A to je přesně Pythagorova věta.

Algebraický důkaz

Algebraicky lze větu odvodit i pomocí podobných trojúhelníků. V pravoúhlém trojúhelníku spustíme z vrcholu pravého úhlu výšku na přeponu. Vzniknou dva menší trojúhelníky, které jsou podobné s původním. Z poměrů stran pak vyplyne:

a^{2} = c \cdot c_{a}

b^{2} = c \cdot c_{b}

(kde $c_{a}$ a $c_{b}$ jsou úseky přepony u paty výšky.) Jejich součet:

a^{2} + b^{2} = c \cdot (c_{a} + c_{b}) = c \cdot c = c^{2}

Zajímavosti

🏛️ Nejstarší zápis věty je na babylonské tabulce Plimpton 322, asi $1800$ př. n. l. Obsahuje patnáct pythagorejských trojic.
🔢 Existuje více než 400 různých důkazů – od čistě geometrických přes algebraické až po důkazy pomocí tekoucí vody nebo origami.
📐 Pythagorova věta je speciálním případem obecnější kosinové věty, která platí pro každý trojúhelník: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$ . V pravoúhlém trojúhelníku je $γ = 90°$ , čili $cos γ = 0$ , a vzorec se zjednoduší na naši Pythagorovu větu.
🌌 V neeuklidovských geometriích (např. na kouli) Pythagorova věta neplatí – je to tedy vlastnost rovinné (eukleidovské) geometrie.

Související články

Procvič si

🔢 Výpočet přepony
🎯 Smíšené úlohy

Důkaz Pythagorovy věty a historie