Obrácená Pythagorova věta

Pythagorova věta nám říká, jak ze dvou stran pravoúhlého trojúhelníku spočítat třetí. Obrácená Pythagorova věta jde opačným směrem: ze tří stran nám pomůže rozhodnout, zda je trojúhelník vůbec pravoúhlý.

---

Obsah článku

• Znění obrácené věty
• Postup ověření
• Řešené příklady
• Nejznámější pravoúhlé trojice
• Časté chyby

---

Znění obrácené věty

> Obrácená Pythagorova věta: Pokud v trojúhelníku se stranami $a$, $b$, $c$ (přičemž $c$ je nejdelší strana) platí

>

>

>

> pak je trojúhelník pravoúhlý a pravý úhel leží naproti straně $c$.

Důležité je, že platí obě implikace:

• Pokud je trojúhelník pravoúhlý → vztah $a^2+b^2=c^2$ platí.
• Pokud vztah $a^2+b^2=c^2$ platí → trojúhelník je pravoúhlý.

---

Postup ověření

1. Najdi nejdelší stranu. Označ ji $c$ – pokud je trojúhelník pravoúhlý, bude to přepona.
2. Vypočítej $a^2+b^2$ ze zbylých dvou stran.
3. Vypočítej $c^2$ z nejdelší strany.
4. Porovnej výsledky:

- Pokud $a^2+b^2=c^2$, trojúhelník je pravoúhlý.

- Pokud $a^2+b^2\ne c^2$, trojúhelník není pravoúhlý.

---

Řešené příklady

Příklad 1: $a=6$, $b=8$, $c=10$.

Nejdelší strana je $10$.

$$a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100$$
$$c^2=10^2=100$$
$$100=100✓$$

Trojúhelník je pravoúhlý.

---

Příklad 2: $a=5$, $b=6$, $c=8$.

Nejdelší strana je $8$.

$$5^2+6^2=25+36=61$$
$$8^2=64$$
$$61\ne 64$$

Trojúhelník není pravoúhlý.

---

Příklad 3: $a=9$, $b=40$, $c=41$.

$$9^2+40^2=81+1600=1681$$
$$41^2=1681$$
$$1681=1681✓$$

Ano, je pravoúhlý.

---

Nejznámější pravoúhlé trojice

Některé trojice celých čísel se v úlohách objevují často – vyplatí se je znát zpaměti:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(6,8,10)$ – násobek $(3,4,5)$
• $(7,24,25)$
• $(8,15,17)$
• $(9,40,41)$
• $(20,21,29)$

> 👉 Více informací: Pythagorejské trojice

---

Časté chyby

⚠️ Nezapomeň si ověřit, která strana je nejdelší. Pokud za $c$ omylem dosadíš jinou stranu, výsledek nebude správný.

⚠️ Porovnáváš druhé mocniny, ne strany. Často se stává, že žák jen sečte strany místo jejich druhých mocnin.

⚠️ Při zaokrouhlení pozor na přesnost. Pokud strany nejsou celá čísla, i malá nepřesnost v měření může způsobit, že rovnost přesně nesedí. Pak stačí, je-li rozdíl zanedbatelný.

---

Související články

• Pythagorova věta – kompletní průvodce
• Vzorec Pythagorovy věty
• Příklady na Pythagorovu větu
• Pythagorejské trojice

Procvič si

• ✏️ Ověření pravoúhlosti
• 🎯 Smíšené úlohy