Pythagorova věta v prostoru

Pythagorova věta funguje i v trojrozměrném prostoru. Nejčastěji ji využíváme pro výpočet tělesové úhlopříčky kvádru nebo krychle – tedy úsečky, která spojuje dva protilehlé vrcholy tělesa.

---

Obsah článku

• Tělesová úhlopříčka kvádru
• Vzorec pro kvádr
• Vzorec pro krychli
• Řešené příklady

---

Tělesová úhlopříčka kvádru

Představ si kvádr s rozměry $a$, $b$, $c$. Tělesová úhlopříčka je úsečka spojující dva protilehlé vrcholy – ta nejdelší úsečka, která se vejde dovnitř kvádru.

Výpočet probíhá ve dvou krocích:

1. Nejprve vypočítáme stěnovou úhlopříčku $u_s$ na podstavě kvádru (obdélník se stranami $a$, $b$):
   
   $$u_s^2=a^2+b^2$$
2. Pak použijeme Pythagorovu větu podruhé v pravoúhlém trojúhelníku, který tvoří stěnová úhlopříčka, tělesová úhlopříčka a výška kvádru $c$:
   
   $$u^2=u_s^2+c^2=a^2+b^2+c^2$$

---

Vzorec pro kvádr

$$u=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

> 💡 Stačí umocnit všechny tři rozměry, sečíst je a odmocnit. Je to vlastně „rozšířená" Pythagorova věta.

---

Vzorec pro krychli

Krychle je speciální případ kvádru, kde $a=b=c$. Vzorec se proto zjednoduší:

$$u=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$$

---

Řešené příklady

Příklad 1: Kvádr má rozměry $a=3$ cm, $b=4$ cm, $c=12$ cm. Vypočítej jeho tělesovou úhlopříčku.

$$u^2=3^2+4^2+12^2=9+16+144=169$$
$$u=\sqrt{169}=13\text{ cm}$$

Odpověď: Tělesová úhlopříčka kvádru je $13$ cm.

---

Příklad 2: Kvádr má rozměry $a=6$ cm, $b=6$ cm, $c=7$ cm.

$$u^2=36+36+49=121$$
$$u=11\text{ cm}$$

---

Příklad 3: Krychle má hranu $a=4$ cm. Jaká je délka její tělesové úhlopříčky?

$$u=a\sqrt{3}=4\sqrt{3}\approx 6,93\text{ cm}$$

Odpověď: Tělesová úhlopříčka krychle je přibližně $6,93$ cm.

---

Příklad 4 (ze života): Vejde se dřevěná tyč dlouhá $1,4$ m do krabice s rozměry $1,0\times 0,8\times 0,6$ m?

Stačí porovnat délku tyče s tělesovou úhlopříčkou krabice:

$$u=\sqrt{1,0^2+0,8^2+0,6^2}=\sqrt{1+0,64+0,36}=\sqrt{2}\approx 1,41\text{ m}$$

Tyč dlouhá $1,4$ m se do krabice vejde, protože její nejdelší úhlopříčka je přibližně $1,41$ m.

---

Související články

• Pythagorova věta – kompletní průvodce
• Vzorec Pythagorovy věty
• Vzdálenost dvou bodů
• Slovní úlohy

Procvič si

• 📊 Slovní úlohy
• 🎯 Smíšené úlohy