Když si malé dítě počítá autíčka, stačí mu čísla 1, 2, 3, … Když v zimě koukáme na teploměr, potřebujeme i −5 °C. Když dělíme pizzu na tři kousky, dostaneme 1/3. A když měříme úhlopříčku čtverce se stranou 1 m, vyjde √2 m — číslo, které zlomkem zapsat nejde.
Matematici čísla postupně „přidávali“ přesně takhle, podle toho, co bylo potřeba. Tak vzniklo pět číselných oborů, které do sebe zapadají jako krabice v krabici. Rámcový program pro gymnázia (RVP G) je řadí do učiva „číselné obory“.
N = {1, 2, 3, 4, …} — čísla, kterými počítáme věci.
Když k nim přidáme i nulu, dostaneme množinu N₀ = {0, 1, 2, 3, …}.
⚠️ Nula do N nepatří. Do N₀ ano.
V N umíme vždycky sčítat a násobit. Odčítat ale ne: 3 − 5 = −2, a to už přirozené číslo není.
Celá čísla Z
Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} — přirozená čísla, nula a čísla opačná k přirozeným.
Celá čísla potřebujeme pro teplotu pod nulou, dluh na účtu nebo patra v podzemních garážích. V Z jde sčítat, odčítat i násobit. Dělit ale ne vždycky: 7 : 2 = 3,5 není celé číslo.
Racionální čísla Q
Racionální číslo je každé číslo, které jde zapsat jako zlomek a/b, kde a je celé číslo a b přirozené číslo.
Racionální jsou i periodická desetinná čísla. Například 0,333… = 1/3, protože 1 : 3 = 0,333…
💡 Racionální číslo poznáš podle desetinného zápisu. Je buď konečný (0,75), nebo periodický — některé číslice se donekonečna opakují (0,1666… = 1/6).
Iracionální čísla I
Iracionální číslo zlomkem zapsat nejde. Jeho desetinný rozvoj je nekonečný a neperiodický — číslice se nikdy pravidelně neopakují.
Nejznámější příklady:
√2 = 1,41421356… — úhlopříčka čtverce se stranou 1,
π = 3,14159265… — kolikrát je obvod kruhu větší než jeho průměr,
√3, √5, √7 … — odmocnina z čísla, které není druhou mocninou celého čísla.
⚠️ Ne každá odmocnina je iracionální. √9 = 3 je celé číslo, √(1/4) = 1/2 je racionální.
Reálná čísla R
Reálná čísla jsou všechna racionální a všechna iracionální čísla dohromady. Jsou to přesně ta čísla, která umíme zakreslit na číselnou osu. Každý bod osy odpovídá jednomu reálnému číslu.
Jak to do sebe zapadá
Každé přirozené číslo je celé: N ⊂ Z.
Každé celé číslo je racionální (5 = 5/1): Z ⊂ Q.
Každé racionální číslo je reálné: Q ⊂ R.
Iracionální čísla jsou také reálná, ale s racionálními nemají nic společného. Každé reálné číslo je buď racionální, nebo iracionální — nikdy obojí.
Zapisujeme: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R a I ⊂ R.
Jak rozhodnout, kam číslo patří
Postupuj vždy ve stejném pořadí:
Zjednoduš číslo, pokud to jde: √16 = 4, 12/4 = 3, (√3)² = 3.
Jde zapsat zlomkem? Pokud ne → iracionální: patří do I a R. Hotovo.
Pokud ano, je racionální: patří do Q a R.
Je celé? Pokud ano, patří i do Z.
Je kladné celé? Pokud ano, patří i do N.
Řešený příklad 1
Do kterých oborů patří číslo −12/4?
Zjednodušíme: −12/4 = −3.
−3 jde zapsat zlomkem (−3/1), je racionální → Q, R.
−3 je celé → Z.
−3 není kladné → do N nepatří.
−12/4 ∈ Z, Q, R.
Řešený příklad 2
Do kterých oborů patří číslo √2 · √8?
Zjednodušíme: √2 · √8 = √(2 · 8) = √16 = 4.
4 je racionální, celé i kladné.
√2 · √8 ∈ N, Z, Q, R — i když jsme začali se dvěma iracionálními čísly!
Řešený příklad 3
Do kterých oborů patří číslo √5 + 1?
√5 zjednodušit nejde, 5 není druhá mocnina celého čísla. √5 je iracionální.
Když k iracionálnímu číslu přičteme racionální číslo, výsledek zůstane iracionální.
√5 + 1 ∈ I, R.
Nejčastější chyby
0 ∈ N: nula do N nepatří, patří do N₀, Z, Q a R.
„Každá odmocnina je iracionální“: √25 = 5 je přirozené číslo.
„Desetinné číslo není racionální“: 0,75 = 3/4 i 0,333… = 1/3 jsou racionální.
Zapomenuté nadřazené obory: číslo 7 patří do N, ale také do Z, Q a R.
Racionální i iracionální zároveň: to se nestane nikdy, tyto množiny nemají společný prvek.
