Množina a její určení — úvod

Množina a její určení — úvod

Tělocvikář řekne: „Do volejbalového týmu jdou všichni, kdo měří alespoň 175 cm.“ Zatím nikoho nejmenoval, a přesto je jasné, kdo do týmu patří. Stačí každého žáka změřit.

Přesně takhle funguje množina. Je to skupina věcí, u které o každé věci umíme jednoznačně říct, jestli do skupiny patří, nebo nepatří. Věcem, které do množiny patří, říkáme prvky množiny.

Obsah

Co je množina

Množinu si můžeš představit jako pytlík, do kterého dáváme věci. Platí dvě pravidla:

  • U každé věci musí být jasné, jestli v pytlíku je, nebo není.
  • Každá věc je v pytlíku nejvýš jednou. Dvakrát tutéž věc nepočítáme.

Množiny označujeme velkými písmeny: A, B, C, M … Prvky píšeme do složených závorek { }.

Příklady:

  • množina dnů víkendu: {sobota, neděle},
  • množina samohlásek ve slově „máma“: {á, a} — každé písmeno píšeme jen jednou,
  • množina sudých čísel menších než 10: {2, 4, 6, 8}.

⚠️ „Množina hezkých filmů“ není množina. Co je hezké, si každý určí jinak, a tak nejde jednoznačně rozhodnout, jestli do ní film patří.

Symboly ∈ a ∉

To, že číslo 4 patří do množiny A = {2, 4, 6, 8}, zapíšeme:

4 ∈ A — čteme „4 je prvkem A“ nebo „4 patří do A“.

To, že číslo 5 do ní nepatří, zapíšeme:

5 ∉ A — čteme „5 není prvkem A“.

💡 Znak ∈ připomíná písmeno „e“ jako „element“ (prvek). Přeškrtnutý znak ∉ znamená opak, stejně jako ≠ u rovnosti.

Určení množiny výčtem prvků

Nejjednodušší je vypsat všechny prvky:

A = {1, 2, 3, 6}

U výčtu platí:

  • Na pořadí nezáleží. {1, 2, 3, 6} a {6, 3, 2, 1} je tatáž množina.
  • Prvky se neopakují. Zápis {1, 2, 2, 3} nepoužíváme — správně je {1, 2, 3}.

Výčet se hodí, když je prvků málo. Pokud je jich hodně, ale jdou pravidelně za sebou, můžeme použít tři tečky: {1, 2, 3, …, 100}.

Určení množiny charakteristickou vlastností

Druhý způsob je říct pravidlo, které splňují všechny prvky — a žádná jiná věc. Tomuto pravidlu říkáme charakteristická vlastnost.

A = {x ∈ N; x je dělitel čísla 6}

Čteme: „A je množina všech x z přirozených čísel, pro která platí, že x je dělitel čísla 6.“

Zápis má tři části:

ČástVýznam
x ∈ Nz jakých čísel vybíráme (tady přirozená čísla 1, 2, 3, …)
;„pro která platí“
x je dělitel čísla 6podmínka, kterou musí x splnit

Prvky najdeme tak, že zkoušíme čísla jedno po druhém: 1 dělí 6 ✓, 2 ✓, 3 ✓, 4 ✗, 5 ✗, 6 ✓. Větší čísla už 6 nedělí. Tedy A = {1, 2, 3, 6}.

Řešený příklad 1

Vypiš prvky množiny B = {x ∈ Z; −2 ≤ x < 3}.

  1. Vybíráme z celých čísel Z — tedy i nulu a záporná čísla.
  2. Podmínka: x je větší nebo rovno −2 a zároveň menší než 3.
  3. U „≤“ hraniční číslo patří: −2 v množině je.
  4. U „<“ hraniční číslo nepatří: 3 v množině není.
  5. B = {−2, −1, 0, 1, 2}.

Řešený příklad 2

Vypiš prvky množiny C = {x ∈ Z; x² = 9}.

  1. Hledáme celá čísla, jejichž druhá mocnina je 9.
  2. 3² = 9 ✓. Ale pozor, i (−3)² = (−3) · (−3) = 9 ✓.
  3. C = {−3, 3}.

💡 Kdybychom vybírali jen z N, záporné číslo by do množiny nepatřilo a vyšlo by {3}. Obor (N nebo Z) je proto stejně důležitý jako podmínka.

Prázdná množina

Může se stát, že podmínku nesplní žádná věc. Pak je množina prázdná a značíme ji ∅.

Příklady:

  • {x ∈ N; x + 7 = 3} = ∅ — řešením by bylo −4, a to není přirozené číslo,
  • {x ∈ Z; x² < 0} = ∅ — druhá mocnina nikdy není záporná,
  • množina žáků vaší třídy, kteří měří 3 metry.

⚠️ Prázdnou množinu píšeme ∅ nebo { }, ale ne {∅} ani {0}. Množina {0} není prázdná — má jeden prvek, číslo nula.

Konečná a nekonečná množina

  • Konečná množina má určitý počet prvků: {1, 2, 3, 6} má 4 prvky. Počet prvků množiny A zapisujeme |A|, tedy |A| = 4.
  • Nekonečná množina má prvků nekonečně mnoho: například všechna sudá čísla {2, 4, 6, 8, …}.

Nekonečnou množinu nedokážeme celou vypsat. Vlastností ji ale popíšeme snadno: {x ∈ N; x je sudé}.

Nejčastější chyby

  • Hranice u < a ≤: u „x < 5“ číslo 5 do množiny nepatří, u „x ≤ 5“ ano.
  • Zapomenutá záporná čísla: v Z je třeba zkoušet i 0, −1, −2, …
  • Zapomenutý záporný kořen: rovnice x² = 16 má v Z dvě řešení, 4 i −4.
  • Opakování prvků: {1, 1, 2} není správný zápis, správně je {1, 2}.
  • {0} jako prázdná množina: {0} má jeden prvek, prázdná množina nemá žádný.

Ve zkratce

  • Množina je skupina věcí, o kterých umíme jednoznačně rozhodnout, jestli do ní patří.
  • x ∈ A: x patří do A. x ∉ A: x nepatří do A.
  • Výčet prvků: A = {1, 2, 3, 6}. Na pořadí nezáleží, prvky se neopakují.
  • Charakteristická vlastnost: A = {x ∈ N; x je dělitel čísla 6}. Prvky najdeme zkoušením.
  • Prázdná množina ∅ nemá žádný prvek.

Zkus si sám

  1. Rozhodni, zda platí: 7 ∈ {x ∈ N; x je dělitel čísla 21}.
  2. Vypiš prvky množiny {x ∈ N; x je prvočíslo, x < 12}.
  3. Vypiš prvky množiny {x ∈ Z; −3 < x ≤ 1}.
  4. Vypiš prvky množiny {x ∈ Z; |x| ≤ 2}.
  5. Zapiš vlastností množinu {3, 6, 9, 12, 15}.
  6. Je množina {x ∈ N; 2x = 7} prázdná?

Řešení

  1. Ano, 21 : 7 = 3, takže 7 ∈ {x ∈ N; x je dělitel čísla 21}.
  2. {2, 3, 5, 7, 11}. Číslo 1 není prvočíslo.
  3. {−2, −1, 0, 1}. Číslo −3 nepatří (je tam „<“), číslo 1 patří (je tam „≤“).
  4. {−2, −1, 0, 1, 2}. Absolutní hodnota je vzdálenost od nuly.
  5. Například {x ∈ N; x je násobek čísla 3, x ≤ 15}. Správných zápisů je víc — stačí, aby určovaly přesně stejné prvky.
  6. Ano. Řešením rovnice je 3,5 a to není přirozené číslo.

Procvič si

👉 Další článek: Číselné obory N, Z, Q, I, R