Ty a tvoje kamarádka si porovnáváte playlisty. Některé písničky máte obě, některé jen ty, některé jen ona. Když chcete pustit něco, co se líbí oběma, hledáte průnik. Když chcete společný playlist na párty, děláte sjednocení. A když jí chceš poslat tipy, které ještě nezná, hledáš rozdíl.
S množinami se počítá přesně takhle. V celém článku používáme dvě množiny:
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}
Obsah
Průnik A ∩ B
Průnik množin A a B tvoří prvky, které jsou
v A i v B — v obou zároveň.
A ∩ B — čteme „A průnik B“.
Pro naše množiny: A ∩ B = {4, 5}. Jen čísla 4 a 5 jsou v obou.
💡 Znak ∩ připomíná obrácené „U“, jako misku dnem vzhůru. Pomůcka: ∩ = „i … i“.
Sjednocení A ∪ B
Sjednocení tvoří prvky, které jsou
alespoň v jedné z množin — v A, v B, nebo v obou.
A ∪ B — čteme „A sjednoceno s B“.
Pro naše množiny: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Čísla 4 a 5 píšeme jen jednou.
💡 Znak ∪ připomíná misku, do které nasypeme všechno. Pomůcka: ∪ = „alespoň v jedné“.
Řešený příklad 1
Urči A ∩ B a A ∪ B pro A = {x ∈ N; x je dělitel čísla 12} a B = {x ∈ N; x je dělitel čísla 18}.
- Vypíšeme: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
- Průnik — čísla v obou: A ∩ B = {1, 2, 3, 6}. Jsou to společní dělitelé čísel 12 a 18.
- Sjednocení — všechno, každé číslo jednou: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}.
Rozdíl A − B
Rozdíl A − B tvoří prvky, které jsou
v A, ale ne v B. Z množiny A „vyhodíme“ všechno, co je i v B.
A − B — čteme „A minus B“ nebo „rozdíl A a B“. Někde se píše také A ∖ B.
Pro naše množiny: A − B = {1, 2, 3}.
⚠️ Na pořadí záleží! B − A jsou prvky B, které nejsou v A: B − A = {6, 7}. To je úplně jiná množina.
Doplněk A′
U doplňku potřebujeme základní množinu U. To je množina všeho, o čem právě mluvíme. Například všichni žáci třídy, nebo všechna čísla od 1 do 10.
Doplněk množiny A tvoří prvky základní množiny U, které
nejsou v A.
A′ — čteme „doplněk A“. Je to vlastně rozdíl U − A.
Pokud U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, pak A′ = {6, 7, 8, 9, 10}.
💡 Doplněk bez U nedává smysl. Doplněk třídy v rámci školy jsou ostatní žáci školy, doplněk v rámci města jsou všichni ostatní obyvatelé města.
Složené výrazy
Operace můžeme kombinovat. Nejdřív počítáme, co je v závorce, podobně jako u čísel.
Řešený příklad 2
U = {1, 2, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}. Urči (A ∪ B)′.
- Závorka: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
- Doplněk v U — co z U chybí: (A ∪ B)′ = {8, 9, 10}.
Řešený příklad 3
Pro tytéž množiny urči A ∩ B′.
- B′ = prvky U, které nejsou v B: B′ = {1, 2, 3, 8, 9, 10}.
- A ∩ B′ = prvky, které jsou v A i v B′: {1, 2, 3}.
- Všimni si: vyšlo totéž jako A − B. Platí totiž A − B = A ∩ B′.
Disjunktní množiny
Pokud dvě množiny nemají žádný společný prvek, jejich průnik je prázdný: A ∩ B = ∅. Takovým množinám říkáme disjunktní.
Příklad: sudá a lichá čísla, nebo racionální a iracionální čísla.
Přehled
| Operace | Zápis | Slovy | Pro A = {1,…,5}, B = {4,…,7} |
|---|
| průnik | A ∩ B | v A i v B | {4, 5} |
| sjednocení | A ∪ B | alespoň v jedné | {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} |
| rozdíl | A − B | v A, ale ne v B | {1, 2, 3} |
| rozdíl | B − A | v B, ale ne v A | {6, 7} |
| doplněk | A′ | v U, ale ne v A | {6, 7, 8, 9, 10} pro U = {1,…,10} |
Nejčastější chyby
- Záměna ∩ a ∪: ∩ je „i … i“ (menší množina), ∪ je „alespoň v jedné“ (větší množina).
- Opakování prvků ve sjednocení: společné prvky píšeme jen jednou.
- A − B = B − A: neplatí! Rozdíl není záměnný.
- Doplněk bez U: vždy si zjisti, co je základní množina.
- Prázdný průnik zapsaný jako {0}: když nic společného není, výsledek je ∅.
Ve zkratce
- A ∩ B: prvky v A i v B.
- A ∪ B: prvky alespoň v jedné z množin, každý jednou.
- A − B: prvky A, které nejsou v B. A − B ≠ B − A.
- A′: prvky U, které nejsou v A.
- Nejdřív závorky. A − B = A ∩ B′.
Zkus si sám
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7}, B = {3, 4, 5, 6}.
- A ∩ B
- A ∪ B
- A − B
- B − A
- A′
- (A ∩ B)′
- A′ ∩ B′
Řešení
- A ∩ B = {3, 5}
- A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7}
- A − B = {1, 7}
- B − A = {4, 6}
- A′ = {2, 4, 6, 8}
- (A ∩ B)′ = {1, 2, 4, 6, 7, 8}
- A′ = {2, 4, 6, 8}, B′ = {1, 2, 7, 8}, takže A′ ∩ B′ = {2, 8}. Je to totéž jako (A ∪ B)′ — čísla, která nejsou ani v A, ani v B.
Procvič si
👉 Další článek: Vennovy diagramy pro 2 množiny
