Podmnožina a rovnost množin

Podmnožina a rovnost množin

Ve třídě je 28 žáků. Do školního sboru chodí 9 z nich. Každý člen sboru je tedy zároveň žákem třídy — sbor je částí třídy. V matematice řekneme, že množina členů sboru je podmnožinou množiny žáků třídy.

Obsah

Podmnožina

Množina A je podmnožinou množiny B, pokud každý prvek množiny A patří i do B. Zapisujeme:

A ⊂ B — čteme „A je podmnožinou B“ nebo „A je částí B“. Tomuto vztahu se říká také inkluze.

Vennův diagram: kruh B leží celý uvnitř kruhu A

Na obrázku leží kruh B celý uvnitř kruhu A, tedy B ⊂ A. V B není nic, co by nebylo i v A.

Příklady:

  • {2, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4} — obě čísla 2 i 4 jsou ve větší množině,
  • N ⊂ Z — každé přirozené číslo je celé,
  • {1, 5} ⊄ {1, 2, 3} — číslo 5 ve větší množině není. Znak ⊄ znamená „není podmnožinou“.

Dvě zajímavá pravidla:

  • Každá množina je podmnožinou sama sebe: A ⊂ A.
  • Prázdná množina je podmnožinou každé množiny: ∅ ⊂ A. Nemá žádný prvek, který by mohl „chybět“.

Jak ověřit, zda A ⊂ B

Projdi prvky A jeden po druhém a u každého se zeptej: „Je i v B?“

  • Pokud ano u všech → A ⊂ B.
  • Pokud najdeš byť jen jeden prvek A, který v B není → A ⊄ B.

Řešený příklad 1

Je A = {3, 6, 9} podmnožinou B = {x ∈ N; x je dělitel čísla 18}?

  1. Vypíšeme B: dělitelé čísla 18 jsou 1, 2, 3, 6, 9, 18. B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
  2. 3 ∈ B ✓, 6 ∈ B ✓, 9 ∈ B ✓.
  3. Ano, A ⊂ B.

Rovnost množin

Dvě množiny se rovnají (A = B), pokud mají přesně stejné prvky. Jinými slovy: A ⊂ B a zároveň B ⊂ A.

Na pořadí ani na způsobu zápisu nezáleží:

  • {1, 2, 3} = {3, 1, 2},
  • {x ∈ Z; x² = 4} = {−2, 2},
  • {x ∈ N; x je sudé prvočíslo} = {2}.

💡 Rovnost ověříš ve dvou krocích. Nejdřív zkontroluj, zda je každý prvek A v B, a potom, zda je každý prvek B v A.

Když ani jedna není podmnožinou druhé

Často platí, že ani A ⊂ B, ani B ⊂ A. Například A = {1, 2, 3} a B = {2, 3, 4}:

  • 1 je v A, ale ne v B → A ⊄ B,
  • 4 je v B, ale ne v A → B ⊄ A.

Množiny mají společné prvky (2 a 3), ale každá má i něco „svého“.

Množiny zadané vlastností

Když je množina zadaná vlastností, nejdřív vypiš její prvky. Teprve potom porovnávej.

Řešený příklad 2

Porovnej A = {x ∈ Z; |x| ≤ 2} a B = {x ∈ Z; −2 ≤ x < 3}.

  1. A: celá čísla ve vzdálenosti nejvýš 2 od nuly. A = {−2, −1, 0, 1, 2}.
  2. B: celá čísla od −2 (včetně) do 3 (bez trojky). B = {−2, −1, 0, 1, 2}.
  3. Obě mají přesně stejné prvky. A = B.

Řešený příklad 3

Porovnej A = {x ∈ N; x je dělitel čísla 6} a B = {x ∈ N; x je dělitel čísla 12}.

  1. A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
  2. Každý prvek A je v B → A ⊂ B.
  3. Číslo 4 je v B, ale ne v A → A ≠ B.
  4. A ⊂ B a A ≠ B. (Každý dělitel čísla 6 je i dělitelem čísla 12, protože 6 dělí 12.)

Nejčastější chyby

  • Směr podmnožiny: A ⊂ B říká, že A je menší nebo stejná. Je to „A je v B“, ne naopak.
  • Stačí pár prvků: nestačí, že A a B mají něco společného. Do B musí patřit každý prvek A.
  • Pořadí prvků: {1, 2, 3} a {3, 2, 1} jsou stejné množiny.
  • Zapomenutá prázdná množina: ∅ ⊂ A platí pro každou množinu A.

Ve zkratce

  • A ⊂ B: každý prvek A je i v B.
  • A = B: A ⊂ B a zároveň B ⊂ A. Stejné prvky, na pořadí nezáleží.
  • A ⊂ A a ∅ ⊂ A platí vždy.
  • Množiny zadané vlastností nejdřív vypiš, teprve potom porovnávej.

Zkus si sám

  1. Platí {2, 5} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}?
  2. Platí {0, 1} ⊂ N?
  3. Porovnej A = {x ∈ Z; x² = 16} a B = {−4, 4}.
  4. Porovnej A = {x ∈ N; x je prvočíslo, x < 10} a B = {x ∈ N; x je liché, x < 10}.
  5. Napiš všechny podmnožiny množiny {a, b}.

Řešení

  1. Ano, 2 i 5 jsou ve větší množině.
  2. Ne, 0 ∉ N.
  3. A = {−4, 4}, proto A = B.
  4. A = {2, 3, 5, 7}, B = {1, 3, 5, 7, 9}. 2 ∈ A, ale 2 ∉ B. A také 1 ∈ B, ale 1 ∉ A. Ani jedna není podmnožinou druhé.
  5. ∅, {a}, {b}, {a, b} — čtyři podmnožiny. Nezapomeň na prázdnou množinu ani na množinu samotnou.

Procvič si

👉 Další článek: Průnik, sjednocení, rozdíl a doplněk