Ve třídě je 28 žáků. Na fotbal chodí 15 z nich, na plavání 12 a do obou kroužků 5. Kolik žáků nechodí do žádného?
Když sečteš 15 + 12, vyjde 27. Zdá se, že jen jeden žák nechodí nikam. Ale to je špatně! Pět žáků chodí do obou kroužků, a tak jsme je započítali dvakrát . Právě tady pomůže obrázek, který v 19. století vymyslel anglický matematik John Venn.
Obsah
Jak vypadá Vennův diagram
Obdélník představuje základní množinu U — všechno, o čem mluvíme (například všechny žáky třídy).Každá množina je kruh uvnitř obdélníku.
Kruhy se překrývají . V překryvu jsou prvky, které patří do obou množin.
Čtyři části diagramu
Dva kruhy rozdělí obdélník na čtyři části :
Část Kdo v ní je Zápis 1 jen v A A − B 2 v A i v B A ∩ B 3 jen v B B − A 4 ani v A, ani v B (A ∪ B)′
Každý prvek základní množiny leží v právě jedné z těchto čtyř částí. To je celé tajemství Vennových diagramů.
Operace v diagramu
Každou operaci umíme ukázat vybarvením některých částí:
Množina Vybarvené části A 1, 2 A ∩ B 2 A ∪ B 1, 2, 3 A − B 1 A′ 3, 4 (A ∪ B)′ 4 (A ∩ B)′ 1, 3, 4
Jak vybarvit složený výraz
U složeného výrazu nehádej tvar . Projdi všechny čtyři části a u každé se zeptej, zda do množiny patří.
Řešený příklad 1
Vybarvi množinu A′ ∩ B.
A′ ∩ B tvoří prvky, které nejsou v A a jsou v B .
Část 1 (jen A): je v A → nepatří.
Část 2 (A i B): je v A → nepatří.
Část 3 (jen B): není v A a je v B → patří .
Část 4 (mimo): není v B → nepatří.
Vybarvíme jen část 3. A′ ∩ B je totéž co B − A.
Počet prvků sjednocení
Počet prvků množiny A zapisujeme |A|. Pro dvě množiny platí:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Proč minus? Prvky průniku jsou započítané v |A| i v |B|, tedy dvakrát . Jednou je proto odečteme.
Slovní úlohy krok za krokem
Vraťme se k úloze ze začátku: 28 žáků, fotbal 15, plavání 12, obojí 5.
Postup: vyplňuj diagram od středu.
Střed (obojí): 5 žáků.Jen fotbal: 15 − 5 = 10. (Z 15 fotbalistů je 5 i plavců.)Jen plavání: 12 − 5 = 7.Alespoň jeden kroužek: 10 + 5 + 7 = 22. Stejně podle vzorce: 15 + 12 − 5 = 22.Žádný kroužek: 28 − 22 = 6 žáků .
💡 Kontrola: všechna čtyři čísla v diagramu musí dát dohromady počet všech žáků. 10 + 5 + 7 + 6 = 28 ✓.
Řešený příklad 2
V anketě odpovědělo 40 rodin. Psa má 18 rodin, kočku 14 rodin a 15 rodin nemá ani psa, ani kočku. Kolik rodin má psa i kočku?
Alespoň jedno zvíře má 40 − 15 = 25 rodin. To je |A ∪ B|.
Podle vzorce 25 = 18 + 14 − |A ∩ B|.
|A ∩ B| = 18 + 14 − 25 = 7 rodin .
Kontrola: jen pes 18 − 7 = 11, jen kočka 14 − 7 = 7, obojí 7, nic 15. Celkem 11 + 7 + 7 + 15 = 40 ✓.
Nejčastější chyby
Sčítání bez odečtení průniku: 15 + 12 není počet žáků v kroužcích, průnik je tam dvakrát.„15 na fotbal“ jako „jen fotbal“: číslo 15 zahrnuje i ty, kdo chodí také na plavání.Zapomenutá část mimo kruhy: ne každý prvek U musí být v některé množině.Vyplňování zvenku: začni vždy průnikem, potom „jen A“ a „jen B“.
Ve zkratce
Obdélník = základní množina U, kruhy = množiny.
Dva kruhy tvoří 4 části: jen A, A i B, jen B, mimo.
Při vybarvování projdi každou část a rozhodni, zda patří do množiny.
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Slovní úlohy: vyplňuj od středu, nakonec zkontroluj součet.
Zkus si sám
Které části (1–4) vybarvíš pro množinu A ∪ B′?
|A| = 20, |B| = 13, |A ∩ B| = 6. Kolik je |A ∪ B|?
Ve třídě je 30 žáků. Angličtinu se učí 24, němčinu 11 a oba jazyky 8. Kolik žáků se neučí ani jeden z těchto jazyků?
Na výletě bylo 35 žáků. Zmrzlinu si koupilo 20, limonádu 18 a nic z toho si nekoupilo 5. Kolik žáků si koupilo zmrzlinu i limonádu?
Řešení
Části 1, 2 (jsou v A) a část 4 (není v B). Celkem části 1, 2, 4 — všechno kromě „jen B“.
|A ∪ B| = 20 + 13 − 6 = 27.
Alespoň jeden jazyk: 24 + 11 − 8 = 27. Žádný: 30 − 27 = 3 žáci.
Alespoň jedno: 35 − 5 = 30. Obojí: 20 + 18 − 30 = 8 žáků.
Procvič si
👉 Další článek: Vennovy diagramy pro 3 množiny
✏️ Procvič si to K tomuto tématu máme interaktivní cvičení. Příklady se generují stále nové a hned uvidíš, jestli je máš správně.
Přejít na cvičení → 
