Kamarádi plánují víkend a každý řekne, co by chtěl dělat: kino, bowling, výlet, nebo hry doma. Při čtyřech možnostech je kombinací opravdu hodně — někdo chce jen kino, někdo kino i výlet, někdo všechno. Diagram se čtyřmi množinami ukáže všechny kombinace najednou. Nejdřív ho ale musíš umět správně nakreslit.
Čtyři množiny jsou rozšiřující učivo. Hodí se jako trénink pečlivého uvažování k maturitě i k přijímačkám na vysokou školu.
U dvou množin měl diagram 4 části, u tří 8. Každá další množina počet částí zdvojnásobí, protože každý prvek se znovu rozhoduje „patří / nepatří“. U čtyř množin potřebujeme
2 · 2 · 2 · 2 = 16 částí
(včetně části mimo všechny množiny).
Když nakreslíš čtyři kruhy, vždycky ti některé kombinace chybějí. Čtyři kruhy rozdělí rovinu nejvýš na 14 částí, ne na 16. Vždycky tedy chybí například část pro prvky, které jsou jen ve dvou „protilehlých“ množinách. Proto se čtyři množiny kreslí elipsami.
Diagram ze čtyř elips
Elipsy A a B jsou nakloněné jedním směrem, C a D druhým. Tak se navzájem protnou tak, že vznikne všech 16 kombinací. Čísla 1 až 16 na obrázku jen označují části. Hledat v nich systém není potřeba.
Jak se v diagramu orientovat
U každé části si polož čtyři otázky: Jsem v A? V B? V C? V D?
💡 Polož prst do části a postupně obejdi každou elipsu. Pokud je prst uvnitř elipsy, část do té množiny patří.
Několik orientačních bodů podle obrázku:
Střed (část 15) je ve všech čtyřech množinách: A ∩ B ∩ C ∩ D.
Část 1 je jen v A, část 8 jen v D.
Část 16 v rohu je mimo všechny elipsy.
Vybarvování výrazů
Řešený příklad 1
Vybarvi množinu A ∩ B.
Hledáme části, které leží v elipse A i v elipse B.
Na C a D nezáleží — mohou tam být, nebo ne.
Takové části jsou čtyři: A ∩ B bez C a D, A ∩ B s C, A ∩ B s D a střed se všemi čtyřmi.
💡 Všimni si: každá podmínka „i“ rozdělí počet částí na polovinu. A má 8 částí, A ∩ B 4, A ∩ B ∩ C 2 a A ∩ B ∩ C ∩ D jen 1.
Řešený příklad 2
Vybarvi množinu (A ∪ B) ∩ (C ∪ D).
Výraz znamená: prvek je alespoň v jedné z A, B a zároveň alespoň v jedné z C, D.
Projdi části a u každé se zeptej na dvě věci: Jsem v A nebo v B? Jsem v C nebo v D?
Vybarvíš jen ty části, kde je odpověď dvakrát „ano“.
Počty v šestnácti částech
Pokud jsou v částech napsané počty prvků, platí totéž co u tří množin: sečti všechny části, které patří do hledané množiny.
Typické otázky:
Kolik prvků má A ∩ B? Sečti čtyři části v překryvu A a B.
Kolik prvků patří právě do dvou množin? Takových částí je šest: AB, AC, AD, BC, BD, CD — vždy bez ostatních dvou množin.
Kolik prvků patří alespoň do tří množin? Čtyři části „právě tři“ a střed.
💡 U čtyř množin je snadné na nějakou část zapomenout. Pomůže, když si části před sčítáním vypíšeš a odškrtáš.
Nejčastější chyby
Čtyři kruhy: nevzniknou všechny kombinace, správný diagram má 16 částí.
Zapomenutá část mimo elipsy: i ta patří mezi 16 částí.
Průnik bez „schovaných“ částí: A ∩ B není jedna část, ale čtyři.
„Právě dvě“ vs. „alespoň dvě“: u „právě dvou“ nesmí být prvky ve třetí ani čtvrté množině.
Ve zkratce
Čtyři množiny → 2⁴ = 16 částí, kreslíme je čtyřmi elipsami.
U každé části zjisti, ve kterých elipsách leží.
Každá podmínka „i“ zmenší počet částí na polovinu: A má 8, A ∩ B 4, A ∩ B ∩ C 2.
U počtů si části před sčítáním vypiš a odškrtej.
Zkus si sám
Kolik částí diagramu leží v množině A?
Kolik částí tvoří množinu A ∩ B ∩ C?
Kolik částí leží v právě jedné množině?
Kolik částí tvoří množinu A′ ∩ B′ ∩ C′ ∩ D′? Kde je na obrázku?
