V ročníku se žáci učí angličtinu, němčinu a španělštinu. Někdo se učí jeden jazyk, někdo dva a někdo všechny tři. Učitel chce vědět, kolik žáků se neučí žádný z nich. U tří množin se člověk snadno splete. Vennův diagram ti ale pomůže všechno uspořádat tak, že nikoho nezapočítáš dvakrát.
💡 Proč zrovna osm? Každý prvek se „rozhoduje“ třikrát: je v A, nebo ne? V B? V C? To je 2 · 2 · 2 = 8 možností. U dvou množin to bylo 2 · 2 = 4.
Vybarvování výrazů
Postup je stejný jako u dvou množin: projdi všech osm částí a u každé rozhodni, zda do množiny patří.
Řešený příklad 1
Vybarvi množinu A − (B ∪ C).
Výraz znamená: prvky A, které nejsou v B ani v C.
Z částí kruhu A (1, 3, 5, 7) vyhodíme ty, které leží i v B nebo v C (3, 5, 7).
Zůstane jen část 1.
Řešený příklad 2
Vybarvi množinu (A ∩ B) ∪ C.
A ∩ B: části 3 a 7.
C: části 4, 5, 6, 7.
Sjednocení: části 3, 4, 5, 6, 7.
Průnik všech tří, A ∩ B ∩ C, je jen prostřední část 7:
Čtení počtů z diagramu
Někdy je v každé části napsáno, kolik prvků v ní je. Pak stačí sečíst správné části.
Na diagramu níže je v části „jen A“ číslo 9, ve středu 4 atd.
|A| = 9 + 5 + 3 + 4 = 21 (všechny části kruhu A),
|A ∩ B| = 5 + 4 = 9 (části 3 a 7),
právě v jedné množině: 9 + 6 + 7 = 22,
alespoň ve dvou množinách: 5 + 3 + 2 + 4 = 14.
⚠️ „A ∩ B“ obsahuje i střed. Prvky ve všech třech množinách jsou totiž i v A i v B.
Slovní úloha: vyplňování od středu
V ročníku je 40 žáků. Angličtinu se učí 21, němčinu 17, španělštinu 16. Angličtinu i němčinu 9, angličtinu i španělštinu 7, němčinu i španělštinu 6 a všechny tři jazyky 4 žáci. Kolik žáků se neučí žádný z těchto jazyků?
Zlaté pravidlo: začni od středu a postupuj ven. Čísla „angličtina i němčina“ totiž zahrnují i ty, kdo se učí všechny tři jazyky.
Střed: všechny tři jazyky — 4.
Dvojice bez středu:
- angličtina a němčina, ale ne španělština: 9 − 4 = 5,
- angličtina a španělština, ale ne němčina: 7 − 4 = 3,
- němčina a španělština, ale ne angličtina: 6 − 4 = 2.
Jen jeden jazyk:
- jen angličtina: 21 − 5 − 3 − 4 = 9,
- jen němčina: 17 − 5 − 2 − 4 = 6,
- jen španělština: 16 − 3 − 2 − 4 = 7.
Alespoň jeden jazyk: 4 + 5 + 3 + 2 + 9 + 6 + 7 = 36.
Žádný jazyk: 40 − 36 = 4 žáci.
Výsledek je přesně diagram výše. 💡 Kontrola: součet všech osmi čísel je 40 ✓.
Pro náročnější: počet prvků sjednocení tří množin se dá spočítat i vzorcem
21 + 17 + 16 − 9 − 7 − 6 + 4 = 36 ✓. Střed jsme v prvních třech číslech započítali třikrát, pak jsme ho třikrát odečetli, a tak ho musíme jednou přidat zpátky. Vyplňování od středu je ale jistější a snáz se kontroluje.
Nejčastější chyby
Vyplňování zvenku: „jen angličtina = 21“ je chyba — 21 zahrnuje i ty, kdo se učí další jazyk.
Zapomenutý střed u dvojic: „angličtina i němčina = 9“ obsahuje i 4 žáky se všemi třemi jazyky.
Dvakrát odečtený střed: u „jen A“ odečti dvojice bez středu a střed jednou.
Bez kontroly: součet osmi částí musí dát počet všech prvků.
Ve zkratce
Tři kruhy tvoří 8 částí (2 · 2 · 2).
Při vybarvování projdi všech osm částí.
U počtů sečti všechny části, které do množiny patří — i střed.
Slovní úlohy: střed → dvojice (minus střed) → „jen jedna“ → mimo. Na závěr kontrola součtu.
Zkus si sám
Které části (1–8) tvoří množinu (A ∪ B) − C?
Které části tvoří B ∩ C′?
Podle diagramu s počty výše: kolik prvků má množina B ∪ C?
V klubu je 50 členů. Běhá 25, na kole jezdí 20, plave 18. Běh i kolo 8, běh i plavání 6, kolo i plavání 5 a všechny tři sporty 3. Kolik členů nedělá žádný z těchto sportů? Kolik jich dělá jen běh?
Řešení
A ∪ B: části 1, 2, 3, 5, 6, 7. Bez C (vyhodíme 5, 6, 7): části 1, 2, 3.
B: části 2, 3, 6, 7. Bez C: části 2, 3.
B ∪ C = všechno v kruzích B a C: 6 + 5 + 2 + 4 + 7 + 3 = 27.
Střed 3. Dvojice bez středu: 8 − 3 = 5, 6 − 3 = 3, 5 − 3 = 2. Jen běh: 25 − 5 − 3 − 3 = 14. Jen kolo: 20 − 5 − 2 − 3 = 10. Jen plavání: 18 − 3 − 2 − 3 = 10. Alespoň jeden sport: 3 + 5 + 3 + 2 + 14 + 10 + 10 = 47. Žádný sport: 3 členové. Jen běh: 14 členů.
