Vety o podobnosti trojúholníkov

Na dokazovanie, že dva trojúholníky sú podobné, nemusíme vždy merať všetky strany a uhly. Stačí overiť jednu z troch podmienok – tzv. vety o podobnosti.

Obsah

• Veta SSS (strana – strana – strana)
• Veta SUS (strana – uhol – strana)
• Veta UU (uhol – uhol)
• Porovnanie viet
• Kedy ktorú vetu použiť
• Súvisiace články

---

Veta SSS (strana – strana – strana)

Dva trojúholníky sú podobné, ak pomery všetkých troch dvojíc zodpovedajúcich strán sú rovnaké.

Matematicky zapísané: Trojúholníky $ABC$ a $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sú podobné, ak:

Príklad: $△ABC$: $a=3$ cm, $b=4$ cm, $c=5$ cm $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $a^{\prime }=6$ cm, $b^{\prime }=8$ cm, $c^{\prime }=10$ cm

Overenie:

Všetky pomery sú rovnaké ($k=2$), takže $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ podľa vety SSS. ✓

⚠️ Pozor: Pri vete SSS musíme porovnávať zodpovedajúce strany – najkratšiu s najkratšou, najdlhšiu s najdlhšou.

---

Veta SUS (strana – uhol – strana)

Dva trojúholníky sú podobné, ak pomery dvoch dvojíc zodpovedajúcich strán sú rovnaké a uhly nimi zovreté sú zhodné.

Matematicky: Trojúholníky $ABC$ a $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sú podobné, ak:

kde $\gamma$ a ${\gamma }^{\prime }$ sú uhly zovreté stranami $a$, $b$ a $a^{\prime }$, $b^{\prime }$.

Príklad: $△ABC$: $a=4$ cm, $b=6$ cm, $\gamma =60°$ $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $a^{\prime }=8$ cm, $b^{\prime }=12$ cm, ${\gamma }^{\prime }=60°$

Overenie:

Pomery sú rovnaké ($k=2$) a zovreté uhly sú zhodné ($60°=60°$), takže $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ podľa vety SUS. ✓

⚠️ Pozor: Uhol musí byť zovretý práve tými dvoma stranami, ktorých pomery overujeme.

---

Veta UU (uhol – uhol)

Dva trojúholníky sú podobné, ak sa dva uhly jedného trojúholníka zhodujú s dvoma uhlami druhého trojúholníka.

Tretí uhol sa zhoduje automaticky, pretože súčet vnútorných uhlov trojúholníka je vždy $180°$:

Ak poznáme dva uhly, tretí je daný jednoznačne.

Príklad: $△ABC$: $\alpha =50°$, $\beta =70°$ $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: ${\alpha }^{\prime }=50°$, ${\beta }^{\prime }=70°$

Tretie uhly: $\gamma =180°-50°-70°=60°$ a ${\gamma }^{\prime }=180°-50°-70°=60°$

Všetky uhly sa zhodujú, takže $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ podľa vety UU. ✓

💡 Tip: Veta UU je najčastejšie používaná veta o podobnosti, pretože na jej overenie stačí poznať len uhly – nepotrebujeme merať strany.

---

Porovnanie viet

• Veta SSS – potrebujeme poznať všetkých 6 strán (3 strany z každého trojúholníka) a overiť, že pomery sú rovnaké
• Veta SUS – potrebujeme poznať 2 strany a zovretý uhol z každého trojúholníka
• Veta UU – stačí poznať 2 uhly z každého trojúholníka (najjednoduchšia na použitie)

---

Kedy ktorú vetu použiť

• Poznáš všetky strany oboch trojúholníkov → použi vetu SSS
• Poznáš dve strany a uhol medzi nimi → použi vetu SUS
• Poznáš uhly → použi vetu UU

Praktický postup:

• Najskôr sa pozri, čo máš zadané
• Ak máš uhly, začni vetou UU – je najjednoduchšia
• Ak máš strany, skús vetu SSS
• Ak máš kombináciu strán a uhlov, použi vetu SUS

👉 Príklady použitia jednotlivých viet: Riešené príklady na podobnosť trojúholníkov

---

Súvisiace články

• Kompletný sprievodca: Podobnosť trojúholníkov – Kompletný sprievodca
• Podobnosť útvarov: Podobnosť geometrických útvarov
• Pomer podobnosti: Pomer (koeficient) podobnosti
• Riešené príklady: Podobnosť trojúholníkov – Riešené príklady

---

Precvič si

• 🔢 Pomer podobnosti: Výpočet pomeru podobnosti
• 📐 Chýbajúce strany: Výpočet chýbajúcej strany
• 🔍 Vety o podobnosti: Určenie vety o podobnosti
• 🧮 Zmiešané úlohy: Zmiešané úlohy na podobnosť