Vety o podobnosti trojuholníkov – SSS, SUS, UU

Na dokazovanie, že dva trojuholníky sú podobné, nemusíme vždy merať všetky strany a uhly. Stačí overiť jednu z troch podmienok – tzv. vety o podobnosti.

Obsah

Veta SSS (strana – strana – strana)
Veta SUS (strana – uhol – strana)
Veta UU (uhol – uhol)
Porovnanie viet
Kedy ktorú vetu použiť
Súvisiace články

Veta SSS (strana – strana – strana)

Dva trojuholníky sú podobné, ak pomery všetkých troch dvojíc zodpovedajúcich strán sú rovnaké.

Matematicky zapísané: Trojúholníky $A B C$ a $A^{'} B^{'} C^{'}$ sú podobné, ak:

\frac{a}{a ^{'}} = \frac{b}{b ^{'}} = \frac{c}{c ^{'}} = k

Príklad:

△ A B C

a = 3

cm,

b = 4

cm,

c = 5

△ A^{'} B^{'} C^{'}

a^{'} = 6

cm,

b^{'} = 8

cm,

c^{'} = 10

Overenie:

\frac{a ^{'}}{a} = \frac{6}{3} = 2, \frac{b ^{'}}{b} = \frac{8}{4} = 2, \frac{c ^{'}}{c} = \frac{10}{5} = 2

Všetky pomery sú rovnaké ( $k = 2$ ), takže $△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$ podľa vety SSS. ✓

⚠️ Pozor: Pri vete SSS musíme porovnávať zodpovedajúce strany – najkratšiu s najkratšou, najdlhšiu s najdlhšou.

Veta SUS (strana – uhol – strana)

Dva trojuholníky sú podobné, ak pomery dvoch dvojíc zodpovedajúcich strán sú rovnaké a uhly nimi zovreté sú zhodné.

Matematicky: Trojúholníky $A B C$ a $A^{'} B^{'} C^{'}$ sú podobné, ak:

\frac{a}{a ^{'}} = \frac{b}{b ^{'}} a s \overset{u}{ˊ} \overset{c}{ˇ} asne γ = γ^{'}

kde $γ$ a $γ^{'}$ sú uhly zovreté stranami $a$ , $b$ a $a^{'}$ , $b^{'}$ .

Príklad:

△ A B C

a = 4

cm,

b = 6

cm,

γ = 60°

△ A^{'} B^{'} C^{'}

a^{'} = 8

cm,

b^{'} = 12

cm,

γ^{'} = 60°

Overenie:

\frac{a ^{'}}{a} = \frac{8}{4} = 2, \frac{b ^{'}}{b} = \frac{12}{6} = 2

Pomery sú rovnaké ( $k = 2$ ) a zovreté uhly sú zhodné ( $60° = 60°$ ), takže $△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$ podľa vety SUS. ✓

⚠️ Pozor: Uhol musí byť zovretý práve tými dvoma stranami, ktorých pomery overujeme.

Veta UU (uhol – uhol)

Dva trojuholníky sú podobné, ak sa dva uhly jedného trojuholníka zhodujú s dvoma uhlami druhého trojuholníka.

Tretí uhol sa zhoduje automaticky, pretože súčet vnútorných uhlov trojuholníka je vždy $180°$ :

α + β + γ = 180°

Ak poznáme dva uhly, tretí je daný jednoznačne.

Príklad:

△ A B C

α = 50°

β = 70°

△ A^{'} B^{'} C^{'}

α^{'} = 50°

β^{'} = 70°

Tretie uhly: $γ = 180° - 50° - 70° = 60°$ a $γ^{'} = 180° - 50° - 70° = 60°$

Všetky uhly sa zhodujú, takže $△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$ podľa vety UU. ✓

💡 Tip: Veta UU je najčastejšie používaná veta o podobnosti, pretože na jej overenie stačí poznať len uhly – nepotrebujeme merať strany.

Porovnanie viet

Veta SSS – potrebujeme poznať všetkých 6 strán (3 strany z každého trojuholníka) a overiť, že pomery sú rovnaké
Veta SUS – potrebujeme poznať 2 strany a zovretý uhol z každého trojuholníka
Veta UU – stačí poznať 2 uhly z každého trojuholníka (najjednoduchšia na použitie)

Kedy ktorú vetu použiť

Poznáš všetky strany oboch trojuholníkov → použi vetu SSS
Poznáš dve strany a uhol medzi nimi → použi vetu SUS
Poznáš uhly → použi vetu UU

Praktický postup:

Najskôr sa pozri, čo máš zadané
Ak máš uhly, začni vetou UU – je najjednoduchšia
Ak máš strany, skús vetu SSS
Ak máš kombináciu strán a uhlov, použi vetu SUS

👉 Príklady použitia jednotlivých viet: Riešené príklady na podobnosť trojuholníkov

Súvisiace články

Kompletný sprievodca: Podobnosť trojuholníkov – Kompletný sprievodca
Podobnosť útvarov: Podobnosť geometrických útvarov
Pomer podobnosti: Pomer (koeficient) podobnosti
Riešené príklady: Podobnosť trojuholníkov – Riešené príklady

Precvič si

🔢 Pomer podobnosti: Výpočet pomeru podobnosti
📐 Chýbajúce strany: Výpočet chýbajúcej strany
🔍 Vety o podobnosti: Určenie vety o podobnosti
🧮 Zmiešané úlohy: Zmiešané úlohy na podobnosť