Pomer (koeficient) podobnosti

Obsah

Čo je pomer podobnosti
Ako vypočítať pomer podobnosti
Čo nám hovorí hodnota k
Vplyv na obsah a objem
Príklady
Súvisiace články

Čo je pomer podobnosti

Ak sú dva trojúholníky $A B C$ a $A^{'} B^{'} C^{'}$ podobné ( $△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ), potom existuje kladné číslo $k$ , pre ktoré platí:

k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{b ^{'}}{b} = \frac{c ^{'}}{c}

Toto číslo $k$ nazývame pomer podobnosti (alebo koeficient podobnosti). Vyjadruje, koľkokrát sú strany jedného trojúholníka väčšie (alebo menšie) ako strany druhého.

💡 Pamätaj: Pomer podobnosti je vždy kladné číslo ( $k > 0$ ).

Ako vypočítať pomer podobnosti

Pomer podobnosti zistíme vydelením zodpovedajúcich strán:

k = \frac{strana v a ¨ c ˇ s ˇ ieho troj u ˊ holn ı ˊ ka}{zodpovedaj u ˊ ca strana men s ˇ ieho troj u ˊ holn ı ˊ ka}

Krok za krokom:

Zisti, ktoré strany si zodpovedajú (oproti rovnakým uhlom)
Vydeľ ľubovoľnú dvojicu zodpovedajúcich strán
Over, že pomer je rovnaký pre všetky tri dvojice

Príklad:

△ A B C

a = 4

b = 6

c = 8

△ A^{'} B^{'} C^{'}

a^{'} = 6

b^{'} = 9

c^{'} = 12

k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{6}{4} = 1, 5

Overenie: $\frac{b ^{'}}{b} = \frac{9}{6} = 1, 5$ ✓ a $\frac{c ^{'}}{c} = \frac{12}{8} = 1, 5$ ✓

Čo nám hovorí hodnota k

$k > 1$ – druhý trojúholník je väčší ako prvý (zväčšenie)
$k < 1$ – druhý trojúholník je menší ako prvý (zmenšenie)
$k = 1$ – trojúholníky sú zhodné (rovnako veľké) – podobnosť je špeciálny prípad zhodnosti

Originál

k = 1,5

k = 0,67

Vplyv na obsah a objem

Koeficient podobnosti ovplyvňuje aj obsah a objem útvarov:

Pomer obsahov podobných útvarov je $k^{2}$
Pomer objemov podobných telies je $k^{3}$

Príklad: Ak

k = 2

, potom:

Strany sú $2 \times$ väčšie
Obsah je $2^{2} = 4 \times$ väčší
Objem je $2^{3} = 8 \times$ väčší

⚠️ Pozor: Častá chyba je zameniť pomer strán s pomerom obsahov. Ak sú strany $2 \times$ väčšie, obsah nie je $2 \times$ , ale $4 \times$ väčší!

Príklady

Príklad 1: Trojúholník

A B C

má strany

a = 5

cm,

b = 7

cm,

c = 9

cm. Trojúholník

A^{'} B^{'} C^{'}

má strany

a^{'} = 15

cm,

b^{'} = 21

cm,

c^{'} = 27

cm. Urči

k

k = \frac{15}{5} = \frac{21}{7} = \frac{27}{9} = 3

Trojúholník $A^{'} B^{'} C^{'}$ je $3 \times$ väčší.

Príklad 2: Trojúholníky

A B C \sim A^{'} B^{'} C^{'}

a = 12

cm,

a^{'} = 8

cm. Koľko je

k

k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0, 67

Trojúholník $A^{'} B^{'} C^{'}$ je menší.

Príklad 3: Trojúholníky

A B C \sim A^{'} B^{'} C^{'}

k = 2, 5

b = 6