Podobnosť trojuholníkov (9. ročník) – Kompletný sprievodca

Podobnosť trojuholníkov je jedným z kľúčových pojmov geometrie. Dva trojuholníky sú podobné, ak majú rovnaké uhly a ich zodpovedajúce strany sú v rovnakom pomere. V tomto sprievodcovi si vysvetlíme všetko, čo potrebuješ vedieť.

Obsah

Čo je podobnosť geometrických útvarov
Pomer (koeficient) podobnosti
Vety o podobnosti trojuholníkov
Príklady
Súvisiace články
Precvič si

Čo je podobnosť geometrických útvarov

Dva geometrické útvary sú podobné, ak majú rovnaký tvar, ale môžu mať rôznu veľkosť. To znamená, že:

Všetky zodpovedajúce uhly sú zhodné
Všetky zodpovedajúce strany sú v rovnakom pomere

Napríklad každé dva štvorce sú podobné, každé dva kruhy sú podobné. Pri trojuholníkoch to ale neplatí automaticky – musia byť splnené určité podmienky.

👉 Podrobnejšie vysvetlenie: Podobnosť geometrických útvarov

Pomer (koeficient) podobnosti

Ak sú dva trojuholníky $A B C$ a $A^{'} B^{'} C^{'}$ podobné, existuje číslo $k$ , ktoré vyjadruje pomer zodpovedajúcich strán:

k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{b ^{'}}{b} = \frac{c ^{'}}{c}

Toto číslo $k$ nazývame pomer podobnosti alebo koeficient podobnosti.

Ak $k > 1$ – trojuholník $A^{'} B^{'} C^{'}$ je väčší (zväčšenie)
Ak $k < 1$ – trojuholník $A^{'} B^{'} C^{'}$ je menší (zmenšenie)
Ak $k = 1$ – trojuholníky sú zhodné (rovnako veľké)

👉 Podrobnejšie vysvetlenie s príkladmi: Pomer (koeficient) podobnosti

Vety o podobnosti trojuholníkov

Na dokazovanie podobnosti trojuholníkov slúžia tri základné vety:

Veta SSS (strana – strana – strana)

Ak sú pomery všetkých troch dvojíc zodpovedajúcich strán rovnaké, trojuholníky sú podobné.

\frac{a}{a ^{'}} = \frac{b}{b ^{'}} = \frac{c}{c ^{'}}

Veta SUS (strana – uhol – strana)

Ak sú pomery dvoch dvojíc zodpovedajúcich strán rovnaké a uhly nimi zovreté sú zhodné, trojuholníky sú podobné.

Veta UU (uhol – uhol)

Ak sa dva uhly jedného trojuholníka zhodujú s dvoma uhlami druhého trojuholníka, trojuholníky sú podobné. Tretí uhol je automaticky rovnaký, pretože súčet uhlov v trojuholníku je $180°$ .

👉 Podrobné vysvetlenie všetkých troch viet: Vety o podobnosti trojuholníkov

Príklady

Rýchly príklad: Trojúholník

A B C

má strany

a = 3

cm,

b = 4

cm,

c = 5

cm. Trojúholník

A^{'} B^{'} C^{'}

má strany

a^{'} = 6

cm,

b^{'} = 8

cm,

c^{'} = 10

cm.

Pomery strán: $\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2$

Trojúholníky sú podobné s koeficientom $k = 2$ .

👉 Viac riešených príkladov: Riešené príklady na podobnosť trojuholníkov