Problemas del teorema de Pitágoras

Los problemas te muestran cómo se usa el teorema de Pitágoras en la vida real. Los siguientes ejemplos son típicos y aparecen con frecuencia en los exámenes.

> 💡 Procedimiento para cada problema:

> 1. Lee atentamente el enunciado.

> 2. Haz un dibujo – un triángulo rectángulo con los lados marcados.

> 3. Identifica qué es la hipotenusa y qué son los catetos.

> 4. Sustituye en la fórmula y calcula.

> 5. No olvides escribir la respuesta también en palabras y con las unidades.

Escalera apoyada en la pared

Problema: Una escalera de $5$ m de longitud está apoyada en la pared de manera que su pie está a $3$ m de la pared. ¿Hasta qué altura $h$ llega la escalera por la pared?

La escalera forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo, la distancia del pie a la pared y la altura sobre la pared son los catetos.

h^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16

h = 16 = 4 m

Respuesta: La escalera llega hasta una altura de $4$ m.

Diagonal del rectángulo

Problema: Un rectángulo tiene las dimensiones $a = 6$ cm y $b = 8$ cm. Calcula la longitud de su diagonal $u$ .

La diagonal del rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos. Los lados del rectángulo son los catetos y la diagonal es la hipotenusa.

u^{2} = a^{2} + b^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

u = 100 = 10 cm

Respuesta: La diagonal del rectángulo mide $10$ cm.

Diagonal del cuadrado

Problema: Un cuadrado tiene lado $a = 5$ cm. ¿Cuál es la longitud de su diagonal?

En el cuadrado los dos catetos del triángulo rectángulo son iguales:

u^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = 2 \cdot 25 = 50

u = 50 \approx 7, 07 cm

Respuesta: La diagonal del cuadrado mide aproximadamente $7, 07$ cm.

> 💡 Fórmula para la diagonal del cuadrado: $u = a 2$

Distancia entre dos puntos

Problema: La ciudad $A$ está $30$ km al norte y $40$ km al este de la ciudad $B$ . ¿Cuál es la distancia en línea recta entre las ciudades?

Imagina un triángulo rectángulo: un cateto es $30$ km (norte), el otro $40$ km (este), y la hipotenusa es la distancia en línea recta.

d^{2} = 3 0^{2} + 4 0^{2} = 900 + 1600 = 2500

d = 2500 = 50 km

Respuesta: La distancia en línea recta es de $50$ km.

> 👉 Explicación más detallada: Distancia entre dos puntos en el plano

Altura de un triángulo isósceles

Problema: Un triángulo isósceles tiene base $z = 12$ cm y lados iguales $r = 10$ cm. Calcula su altura $v$ .

La altura del triángulo isósceles corta la base por la mitad. Se forma un triángulo rectángulo en el que el lado igual es la hipotenusa, la mitad de la base es un cateto y la altura es el otro cateto.

v^{2} = r^{2} - (\frac{z}{2})^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64

v = 64 = 8 cm

Respuesta: La altura del triángulo es de $8$ cm.

Ruta más corta

Problema: Un parque tiene forma de rectángulo de dimensiones $80$ m y $60$ m. Hay un camino que rodea el parque, pero también se puede cruzar en diagonal. ¿Cuántos metros más corto es el camino diagonal que el camino por dos lados consecutivos?

Paso 1: Diagonal del parque.

d = 8 0^{2} + 6 0^{2} = 6400 + 3600 = 10000 = 100 m

Paso 2: Camino por los dos lados consecutivos.

80 + 60 = 140 m

Paso 3: Diferencia.

140 - 100 = 40 m

Respuesta: El camino diagonal es $40$ m más corto.

Problemas del teorema de Pitágoras – ejemplos resueltos