Teorema de Pitágoras en el espacio
El teorema de Pitágoras también funciona en el espacio tridimensional. Lo usamos con mayor frecuencia para calcular la diagonal espacial de un ortoedro o de un cubo, es decir, el segmento que une dos vértices opuestos del cuerpo.
Contenido del artículo
Diagonal espacial del ortoedro
Imagínate un ortoedro con las dimensiones , , . La diagonal espacial es el segmento que une dos vértices opuestos: el segmento más largo que cabe dentro del ortoedro.
El cálculo se hace en dos pasos:
- Primero calculamos la diagonal de la cara sobre la base del ortoedro (un rectángulo con lados , ):
- Después aplicamos el teorema de Pitágoras por segunda vez en el triángulo rectángulo formado por la diagonal de la cara, la diagonal espacial y la altura del ortoedro :
- Teorema de Pitágoras – guía completa
- Fórmula del teorema de Pitágoras
- Distancia entre dos puntos
- Problemas
Fórmula para el ortoedro
> 💡 Basta con elevar al cuadrado las tres dimensiones, sumarlas y tomar la raíz. Es básicamente un teorema de Pitágoras «ampliado».
Fórmula para el cubo
El cubo es un caso especial del ortoedro en el que . La fórmula se simplifica así:
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: Un ortoedro tiene las dimensiones cm, cm, cm. Calcula su diagonal espacial.
Respuesta: La diagonal espacial del ortoedro mide cm.
Ejemplo 2: Un ortoedro tiene las dimensiones cm, cm, cm.
Ejemplo 3: Un cubo tiene arista cm. ¿Cuál es la longitud de su diagonal espacial?
Respuesta: La diagonal espacial del cubo es de aproximadamente cm.
Ejemplo 4 (de la vida real): ¿Cabe una vara de madera de m en una caja con las dimensiones m?
Basta con comparar la longitud de la vara con la diagonal espacial de la caja:
La vara de m sí cabe en la caja, porque su diagonal más larga es de aproximadamente m.