Teorema de Pitágoras en el espacio – diagonal del ortoedro y del cubo

El teorema de Pitágoras también funciona en el espacio tridimensional. Lo usamos con mayor frecuencia para calcular la diagonal espacial de un ortoedro o de un cubo, es decir, el segmento que une dos vértices opuestos del cuerpo.

Diagonal espacial del ortoedro

Imagínate un ortoedro con las dimensiones $a$ , $b$ , $c$ . La diagonal espacial es el segmento que une dos vértices opuestos: el segmento más largo que cabe dentro del ortoedro.

El cálculo se hace en dos pasos:

Primero calculamos la diagonal de la cara $u_{s}$ sobre la base del ortoedro (un rectángulo con lados $a$ , $b$ ):
$u_{s}^{2} = a^{2} + b^{2}$
Después aplicamos el teorema de Pitágoras por segunda vez en el triángulo rectángulo formado por la diagonal de la cara, la diagonal espacial y la altura del ortoedro $c$ :
$u^{2} = u_{s}^{2} + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Fórmula para el ortoedro

u = a^{2} + b^{2} + c^{2}

💡 Basta con elevar al cuadrado las tres dimensiones, sumarlas y tomar la raíz. Es básicamente un teorema de Pitágoras «ampliado».

Fórmula para el cubo

El cubo es un caso especial del ortoedro en el que $a = b = c$ . La fórmula se simplifica así:

u = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3 a^{2} = a 3

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Un ortoedro tiene las dimensiones

a = 3

cm,

b = 4

cm,

c = 12

cm. Calcula su diagonal espacial.

u^{2} = 3^{2} + 4^{2} + 1 2^{2} = 9 + 16 + 144 = 169

u = 169 = 13 cm

Respuesta: La diagonal espacial del ortoedro mide

13

cm.

Ejemplo 2: Un ortoedro tiene las dimensiones

a = 6

cm,

b = 6

cm,

c = 7

cm.

u^{2} = 36 + 36 + 49 = 121

u = 11 cm

Ejemplo 3: Un cubo tiene arista

a = 4

cm. ¿Cuál es la longitud de su diagonal espacial?

u = a 3 = 43 \approx 6, 93 cm

Respuesta: La diagonal espacial del cubo es de aproximadamente

6, 93

cm.

Ejemplo 4 (de la vida real): ¿Cabe una vara de madera de

1, 4

m en una caja con las dimensiones

1, 0 \times 0, 8 \times 0, 6

Basta con comparar la longitud de la vara con la diagonal espacial de la caja:

u = 1, 0^{2} + 0, 8^{2} + 0, 6^{2} = 1 + 0, 64 + 0, 36 = 2 \approx 1, 41 m

La vara de $1, 4$ m sí cabe en la caja, porque su diagonal más larga es de aproximadamente $1, 41$ m.

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