Recíproco del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras nos dice cómo calcular el tercer lado de un triángulo rectángulo a partir de los otros dos. El recíproco del teorema de Pitágoras va en la dirección contraria: a partir de los tres lados nos ayuda a decidir si un triángulo es rectángulo.

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Contenido del artículo

• Enunciado del recíproco
• Procedimiento de comprobación
• Ejemplos resueltos
• Ternas rectángulas más conocidas
• Errores frecuentes

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Enunciado del recíproco

> Recíproco del teorema de Pitágoras: Si en un triángulo con lados $a$, $b$, $c$ (siendo $c$ el lado más largo) se cumple

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> entonces el triángulo es rectángulo y el ángulo recto está frente al lado $c$.

Es importante que se cumplen las dos implicaciones:

• Si el triángulo es rectángulo → la relación $a^2+b^2=c^2$ se cumple.
• Si la relación $a^2+b^2=c^2$ se cumple → el triángulo es rectángulo.

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Procedimiento de comprobación

1. Encuentra el lado más largo. Llámalo $c$: si el triángulo es rectángulo, será la hipotenusa.
2. Calcula $a^2+b^2$ con los otros dos lados.
3. Calcula $c^2$ a partir del lado más largo.
4. Compara los resultados:

- Si $a^2+b^2=c^2$, el triángulo es rectángulo.

- Si $a^2+b^2\ne c^2$, el triángulo no es rectángulo.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: $a=6$, $b=8$, $c=10$.

El lado más largo es $10$.

$$a^2+b^2=6^2+8^2=36+64=100$$
$$c^2=10^2=100$$
$$100=100✓$$

El triángulo es rectángulo.

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Ejemplo 2: $a=5$, $b=6$, $c=8$.

El lado más largo es $8$.

$$5^2+6^2=25+36=61$$
$$8^2=64$$
$$61\ne 64$$

El triángulo no es rectángulo.

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Ejemplo 3: $a=9$, $b=40$, $c=41$.

$$9^2+40^2=81+1600=1681$$
$$41^2=1681$$
$$1681=1681✓$$

Sí, es rectángulo.

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Ternas rectángulas más conocidas

Algunas ternas de números enteros aparecen con mucha frecuencia en los problemas; conviene conocerlas de memoria:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(6,8,10)$ – múltiplo de $(3,4,5)$
• $(7,24,25)$
• $(8,15,17)$
• $(9,40,41)$
• $(20,21,29)$

> 👉 Más información: Ternas pitagóricas

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Errores frecuentes

⚠️ No olvides comprobar cuál es el lado más largo. Si pones otro lado en lugar de $c$ por error, el resultado no será correcto.

⚠️ Comparas cuadrados, no lados. Es frecuente que el alumno sume solo los lados en lugar de sus cuadrados.

⚠️ Cuidado con el redondeo. Si los lados no son números enteros, incluso una pequeña imprecisión en la medida puede hacer que la igualdad no se cumpla exactamente. En ese caso basta con que la diferencia sea insignificante.

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Practica

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