Ternas pitagóricas

Una terna pitagórica es un trío de números naturales $(a, b, c)$ para el que se cumple

a^{2} + b^{2} = c^{2} .

En otras palabras, son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo que son números enteros. Las ternas pitagóricas son muy populares en los libros de texto porque dan resultados «bonitos», sin decimales.

La terna más conocida (3, 4, 5)

La terna $(3, 4, 5)$ es la más conocida de todas. Vamos a comprobarla:

3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2} ✓

Un triángulo rectángulo con catetos $3$ y $4$ tiene, por tanto, una hipotenusa de exactamente $5$ . Esta terna ya era conocida por los antiguos egipcios, que la usaban para trazar ángulos rectos al construir las pirámides.

Ternas pitagóricas primitivas

Una terna pitagórica primitiva es aquella en la que los números $a$ , $b$ , $c$ no tienen un divisor común mayor que $1$ ; dicho de otra forma, no pueden dividirse los tres por el mismo número.

Ejemplos de ternas primitivas:

$(3, 4, 5)$
$(5, 12, 13)$
$(8, 15, 17)$
$(7, 24, 25)$
$(20, 21, 29)$
$(9, 40, 41)$

Múltiplos de ternas

A partir de cada terna pitagórica podemos formar otras multiplicando los tres números por el mismo número natural. La terna resultante también será pitagórica.

Ejemplo: Multipliquemos la terna $(3, 4, 5)$ por $2$ :

(6, 8, 10)

6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 1 0^{2} ✓

Y por $3$ :

(9, 12, 15)

9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 1 5^{2} ✓

Así, a partir de una sola terna primitiva $(3, 4, 5)$ obtenemos infinitas más: $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ , $(12, 16, 20)$ , $(15, 20, 25)$ , etc.

Lista de las ternas más usadas

Estas ternas vale la pena tenerlas «en la cabeza»: te acelerarán la resolución de los problemas.

$a$	$b$	$c$
----:	----:	----:
3	4	5
5	12	13
6	8	10
7	24	25
8	15	17
9	12	15
9	40	41
11	60	61
12	16	20
20	21	29

Cómo crear una nueva terna

Existe una fórmula muy bonita que permite generar ternas pitagóricas primitivas. Para cualesquiera números naturales $m > n > 0$ se cumple:

a = m^{2} - n^{2}, b = 2 mn, c = m^{2} + n^{2}

Ejemplo: Para $m = 2$ , $n = 1$ :

$a = 4 - 1 = 3$
$b = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$
$c = 4 + 1 = 5$

Hemos obtenido la terna $(3, 4, 5)$ .

Para $m = 3$ , $n = 2$ :

$a = 9 - 4 = 5$
$b = 12$
$c = 9 + 4 = 13$

Hemos obtenido la terna $(5, 12, 13)$ .

Practica

✏️ Comprobar si es rectángulo
🎯 Problemas mixtos

Ternas pitagóricas – (3,4,5) y otras