Inecuaciones lineales con una incógnita: Guía completa

Tabla de contenido

¿Qué es una inecuación lineal?
Símbolos de desigualdad
Reglas fundamentales de transformación
Procedimiento de resolución paso a paso
Formas de escribir la solución
Casos especiales
Relación con las ecuaciones lineales
Errores frecuentes que hay que evitar
Ejercicios interactivos
Artículos relacionados

1. ¿Qué es una inecuación lineal?

Una inecuación lineal con una incógnita es una desigualdad que puede escribirse en una de las siguientes formas:

a x + b > c a x + b < c a x + b \geq c a x + b \leq c

donde:

$a$ , $b$ y $c$ son números conocidos (coeficientes)
$x$ es la incógnita que queremos hallar
La mayor potencia de $x$ es 1 (por eso es "lineal")

Diferencia con una ecuación

En una ecuación como $2 x + 3 = 11$ buscamos un número concreto ( $x = 4$ ).

En una inecuación como $2 x + 3 > 11$ buscamos todo un conjunto de números que la satisfacen ( $x > 4$ , es decir, 5, 6, 4.1, 100...).

Diferencia clave: La solución de una ecuación suele ser un número. La solución de una inecuación es un intervalo o conjunto de números.

Ejemplos de inecuaciones lineales

Inecuación	Tipo
$2 x + 3 > 11$	desigualdad estricta (mayor)
$x - 5 < 8$	desigualdad estricta (menor)
$3 x \geq 15$	desigualdad no estricta (mayor o igual)
$\frac{x}{4} \leq 6$	desigualdad no estricta (menor o igual)

Inecuaciones NO lineales (¿por qué no?)

$x^{2} + 3 > 12$ — $x$ tiene exponente 2 (inecuación cuadrática)
$2^{x} < 16$ — $x$ está en el exponente (inecuación exponencial)
$\frac{1}{x} \geq 4$ — $x$ está en el denominador (inecuación racional)

2. Símbolos de desigualdad

Símbolo	Nombre	Significado	Ejemplo
$<$	menor que	el lado izquierdo es menor que el derecho	$3 < 5$
$>$	mayor que	el lado izquierdo es mayor que el derecho	$7 > 2$
$\leq$	menor o igual que	el lado izquierdo es menor o igual al derecho	$3 \leq 5$ , también $3 \leq 3$
$\geq$	mayor o igual que	el lado izquierdo es mayor o igual al derecho	$7 \geq 2$ , también $7 \geq 7$

Desigualdades estrictas vs. no estrictas

Desigualdades estrictas ( $<$ , $>$ ) — el punto frontera no pertenece a la solución
Desigualdades no estrictas ( $\leq$ , $\geq$ ) — el punto frontera sí pertenece a la solución

Ejemplo: Para $x > 3$ , el número 3 no es solución. Para $x \geq 3$ , el número 3 sí es solución.

3. Reglas fundamentales de transformación

Regla 1: Suma y resta

A ambos lados de la inecuación podemos sumar o restar cualquier número. El sentido de la desigualdad no cambia.

x + 5 > 12 \Rightarrow x + 5 - 5 > 12 - 5 \Rightarrow x > 7

x - 3 \leq 10 \Rightarrow x - 3 + 3 \leq 10 + 3 \Rightarrow x \leq 13

Regla 2: Multiplicación y división por un número positivo

Ambos lados de la inecuación se pueden multiplicar o dividir por un número positivo. El sentido de la desigualdad no cambia.

3 x > 15 \Rightarrow \frac{3 x}{3} > \frac{15}{3} \Rightarrow x > 5

\frac{x}{4} \leq 6 \Rightarrow x \leq 24

Regla 3: Multiplicación y división por un número negativo

¡ATENCIÓN! Esta es la regla más importante. Cuando multiplicamos o dividimos ambos lados de la inecuación por un número negativo, debemos invertir el sentido de la desigualdad.

- 2 x > 6 \Rightarrow \frac{- 2 x}{- 2} < \frac{6}{- 2} \Rightarrow x < - 3

- x \leq 5 \Rightarrow x \geq - 5

¿Por qué se invierte el sentido? Veamos con números concretos:

Sabemos que $3 < 7$
Multiplicamos ambos lados por $- 1$ : $- 3$ y $- 7$
En la recta numérica $- 3 > - 7$ , ¡así que la desigualdad se invirtió!

Resumen de reglas

Operación	Sentido de la desigualdad
$+ a$ o $- a$	no cambia
$\times a$ o $\div a$ donde $a > 0$	no cambia
$\times a$ o $\div a$ donde $a < 0$	¡se invierte!

4. Procedimiento de resolución paso a paso

Ejemplo 1: Inecuación sencilla

Resolver: $2 x + 3 > 11$

Paso 1: Restamos 3 a ambos lados

2 x + 3 - 3 > 11 - 3

2 x > 8

Paso 2: Dividimos ambos lados entre 2 (positivo, el sentido no cambia)

\frac{2 x}{2} > \frac{8}{2}

x > 4

Paso 3: Verificamos sustituyendo (por ejemplo,

x = 5

)

2 \cdot 5 + 3 = 13 > 11 ✓

Solución:

x \in (4, \infty)

Ejemplo 2: Inecuación con coeficiente negativo

Resolver: $- 3 x + 6 \leq 15$

Paso 1: Restamos 6 a ambos lados

- 3 x + 6 - 6 \leq 15 - 6

- 3 x \leq 9

Paso 2: Dividimos ambos lados entre

- 3

(negativo, ¡invertimos el sentido!)

\frac{- 3 x}{- 3} \geq \frac{9}{- 3}

x \geq - 3

Paso 3: Verificamos sustituyendo (por ejemplo,

x = 0

)

- 3 \cdot 0 + 6 = 6 \leq 15 ✓

Verificamos también el punto frontera ( $x = - 3$ ):

- 3 \cdot (- 3) + 6 = 9 + 6 = 15 \leq 15 ✓

Solución:

x \in [- 3, \infty)

Ejemplo 3: Incógnita en ambos lados

Resolver: $5 x - 4 > 2 x + 8$

Paso 1: Trasladamos los términos con

x

al lado izquierdo (restamos

2 x

)

5 x - 2 x - 4 > 8

3 x - 4 > 8

Paso 2: Trasladamos los números al lado derecho (sumamos 4)

3 x > 12

Paso 3: Dividimos entre 3 (positivo, el sentido no cambia)

x > 4

Paso 4: Verificamos sustituyendo (por ejemplo,

x = 5

)

5 \cdot 5 - 4 = 21 > 2 \cdot 5 + 8 = 18 ✓

Solución:

x \in (4, \infty)

5. Formas de escribir la solución

La solución de una inecuación se puede expresar de tres maneras:

Forma 1: Notación de desigualdad

Escribimos la solución como una inecuación:

x > 3 x \leq - 2 x \geq 0

Forma 2: Notación de intervalos

Escribimos la solución como un intervalo:

Inecuación	Intervalo
$x > 3$	$(3, \infty)$
$x \geq 3$	$[3, \infty)$
$x < 3$	$(- \infty, 3)$
$x \leq 3$	$(- \infty, 3]$

Nota: Con $\infty$ y $- \infty$ siempre usamos paréntesis redondo (extremo abierto), porque el infinito no es un número concreto.

Forma 3: Representación en la recta numérica

Desigualdad estricta ( $<$ , $>$ ) — círculo abierto (○) en el punto frontera
Desigualdad no estricta ( $\leq$ , $\geq$ ) — círculo cerrado (●) en el punto frontera
La flecha indica la dirección donde se encuentran las soluciones

Más detalles en el artículo Inecuaciones lineales - Recta numérica.

6. Casos especiales

Caso 1: Sin solución

Cuando la resolución conduce a una afirmación falsa.

Resolver: $2 x + 3 > 2 x + 7$

Restamos $2 x$ a ambos lados:

3 > 7

¡Esto es falso! La inecuación no tiene solución.

Solución: $x \in \emptyset$ (conjunto vacío)

Caso 2: Todos los números reales

Cuando la resolución conduce a una afirmación verdadera.

Resolver: $2 x + 3 < 2 x + 7$

Restamos $2 x$ a ambos lados:

3 < 7

¡Esto es siempre verdadero! Cualquier número real satisface la inecuación.

Solución: $x \in (- \infty, \infty) = R$

Caso 3: Inecuación del tipo $0 x > 0$

Resolver: $3 x + 5 > 3 x + 5$

Restamos $3 x + 5$ :

0 > 0

¡Esto es falso! Solución: $x \in \emptyset$

Pero si tuviésemos: $3 x + 5 \geq 3 x + 5$

Restamos $3 x + 5$ :

0 \geq 0

¡Esto es verdadero! Solución: $x \in R$

Más detalles en Inecuaciones lineales - Casos especiales.

7. Relación con las ecuaciones lineales

La resolución de inecuaciones es muy parecida a la de ecuaciones. Se utilizan las mismas técnicas:

Ecuaciones	Inecuaciones
Sumar/restar en ambos lados	Sumar/restar en ambos lados
Multiplicar/dividir en ambos lados	Multiplicar/dividir en ambos lados
El signo $=$ no cambia	El sentido cambia al multiplicar/dividir por un número negativo
Solución: un número ( $x = 4$ )	Solución: un intervalo ( $x > 4$ )
Comprobación: sustituir y verificar igualdad	Comprobación: sustituir y verificar desigualdad

Consejo: Si sabe resolver ecuaciones lineales, ya sabe resolver inecuaciones. Solo tiene que recordar una regla más: al multiplicar o dividir por un número negativo, invierta el signo de desigualdad.

8. Errores frecuentes que hay que evitar

Error 1: Olvidar invertir la desigualdad

- 2 x > 6

Incorrecto: $x > - 3$

Correcto: $x < - 3$ (¡al dividir por un número negativo se invierte!)

Error 2: Notación de intervalos incorrecta

Para $x > 3$ :

Incorrecto: $[3, \infty)$ — el corchete significa que 3 pertenece a la solución

Correcto: $(3, \infty)$ — paréntesis redondo, porque 3 no es solución

Error 3: Paréntesis con el infinito

Incorrecto: $[3, \infty]$

Correcto: $[3, \infty)$ — con $\infty$ siempre se usa paréntesis redondo

Error 4: Dirección incorrecta de la flecha en la recta numérica

Para $x < 5$ la flecha apunta a la izquierda (hacia los números menores).

Para $x > 5$ la flecha apunta a la derecha (hacia los números mayores).

Error 5: Error al trasladar términos

3 x - 7 > 2 x + 4

Incorrecto: $3 x - 2 x > 4 - 7$ (se olvidó cambiar el signo de $- 7$ )

Correcto: $3 x - 2 x > 4 + 7$ , es decir $x > 11$

Resumen de fórmulas

Tipo de inecuación	Método de resolución
$x + a > b$	$x > b - a$
$x - a < b$	$x < b + a$
$a x > b$ ( $a > 0$ )	$x > \frac{b}{a}$
$a x > b$ ( $a < 0$ )	$x < \frac{b}{a}$ (¡se invierte!)
$a x + b > c x + d$	Agrupar términos con $x$ y luego resolver

Casos especiales	Condición	Solución
Sin solución	expresión falsa (p. ej. $3 > 7$ )	$\emptyset$
Todos los reales	expresión verdadera (p. ej. $3 < 7$ )	$R$

Ejercicios interactivos

Practique lo que ha aprendido:

Inecuaciones - Básicas - Inecuaciones sencillas
Inecuaciones - Con suma - Inecuaciones con suma y resta
Inecuaciones - Con multiplicación - Multiplicación y división
Inecuaciones - Coeficiente negativo - Inversión de la desigualdad
Inecuaciones - Ambos lados - Incógnita en ambos lados
Inecuaciones - Intervalos - Escritura de soluciones como intervalos
Inecuaciones - Recta numérica - Representación en la recta numérica
Inecuaciones - Casos especiales - Sin solución o infinitas soluciones

Inecuaciones lineales con una incógnita - Guía completa

Inecuaciones lineales con una incógnita: Guía completa

Tabla de contenido

1. ¿Qué es una inecuación lineal?

Diferencia con una ecuación

Ejemplos de inecuaciones lineales

Inecuaciones NO lineales (¿por qué no?)

2. Símbolos de desigualdad

Desigualdades estrictas vs. no estrictas

3. Reglas fundamentales de transformación

Regla 1: Suma y resta

Regla 2: Multiplicación y división por un número positivo

Regla 3: Multiplicación y división por un número negativo

Resumen de reglas

4. Procedimiento de resolución paso a paso

Ejemplo 1: Inecuación sencilla

Ejemplo 2: Inecuación con coeficiente negativo

Ejemplo 3: Incógnita en ambos lados

5. Formas de escribir la solución

Forma 1: Notación de desigualdad

Forma 2: Notación de intervalos

Forma 3: Representación en la recta numérica

6. Casos especiales

Caso 1: Sin solución

Caso 2: Todos los números reales

Caso 3: Inecuación del tipo 0x>0

7. Relación con las ecuaciones lineales

8. Errores frecuentes que hay que evitar

Error 1: Olvidar invertir la desigualdad

Error 2: Notación de intervalos incorrecta

Error 3: Paréntesis con el infinito

Error 4: Dirección incorrecta de la flecha en la recta numérica

Error 5: Error al trasladar términos

Resumen de fórmulas

Ejercicios interactivos

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Caso 3: Inecuación del tipo $0 x > 0$