Inecuaciones lineales - Casos especiales

Tabla de contenido

1. Tres tipos de resultado
2. Caso 1: La solución es un intervalo
3. Caso 2: Sin solución
4. Caso 3: Todos los números reales
5. Caso 4: Caso límite
6. Cómo reconocer un caso especial
7. Ejercicios interactivos

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1. Tres tipos de resultado

Toda inecuación lineal tiene exactamente uno de estos tres tipos de resultado:

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2. Caso 1: La solución es un intervalo

Este es el caso más frecuente. Después de simplificar la inecuación, obtenemos un resultado de la forma $x>a$, $x<a$, $x\ge a$ o $x\le a$.

Ejemplo

Resolver: $3x+2>11$

Solución: $x\in (3,\infty )$

Este caso ocurre cuando, después de simplificar, queda la incógnita en la inecuación.

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3. Caso 2: Sin solución

Si al simplificar obtenemos una afirmación falsa sin incógnita, la inecuación no tiene solución.

Ejemplo 1

Resolver: $x+3>x+5$

Paso 1: Restamos $x$ de ambos lados $3>5$ es FALSO $\Rightarrow x\in \varnothing$

Ningún número puede hacer que el lado izquierdo sea mayor que el derecho, porque el lado izquierdo siempre es 2 unidades menor.

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Ejemplo 2

Resolver: $2(x-1)>2x+3$

Paso 1: Expandimos los paréntesis Paso 2: Restamos $2x$ de ambos lados $-2>3$ es FALSO $\Rightarrow x\in \varnothing$

Regla

Si al simplificar se obtiene una afirmación falsa del tipo $\text{nuˊmero}>\text{nuˊmero mayor}$, la inecuación no tiene solución.

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4. Caso 3: Todos los números reales

Si al simplificar obtenemos una afirmación verdadera sin incógnita, la solución son todos los números reales.

Ejemplo 1

Resolver: $x+5>x+2$

Paso 1: Restamos $x$ de ambos lados $5>2$ es VERDADERO $\Rightarrow x\in \mathbb{R}$

Cualquier número sustituido por $x$ satisface la inecuación, porque el lado izquierdo siempre es 3 unidades mayor.

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Ejemplo 2

Resolver: $3(x+1)\le 3x+10$

Paso 1: Expandimos los paréntesis Paso 2: Restamos $3x$ de ambos lados $3\le 10$ es VERDADERO $\Rightarrow x\in \mathbb{R}$

Regla

Si al simplificar se obtiene una afirmación verdadera del tipo $\text{nuˊmero}<\text{nuˊmero mayor}$, la solución son todos los números reales.

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5. Caso 4: Caso límite

El caso límite ocurre cuando al simplificar se obtiene una afirmación del tipo $a\ge a$ o $a>a$. Aquí es decisivo si la desigualdad es estricta ($<$, $>$) o no estricta ($\le$, $\ge$).

Ejemplo con desigualdad no estricta

Resolver: $2x+4\ge 2(x+2)$

Paso 1: Expandimos el lado derecho Paso 2: Restamos $2x$ de ambos lados $4\ge 4$ es VERDADERO (porque $\ge$ incluye la igualdad) $\Rightarrow x\in \mathbb{R}$

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Ejemplo con desigualdad estricta

Resolver: $2x+4>2(x+2)$

Paso 1: Expandimos el lado derecho Paso 2: Restamos $2x$ de ambos lados $4>4$ es FALSO (porque $>$ exige estrictamente mayor) $\Rightarrow x\in \varnothing$

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Comparación

Conclusión: La diferencia entre desigualdad estricta y no estricta es determinante en los casos límite.

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6. Cómo reconocer un caso especial

Un caso especial ocurre siempre que los términos con la incógnita se anulan mutuamente. Después de simplificar, solo queda una comparación entre dos números.

Guía de referencia rápida

¿Cuándo sospechar un caso especial?

Esté atento cuando observe:

• El mismo coeficiente de $x$ en ambos lados
• Una inecuación del tipo $a\cdot f(x)>a\cdot f(x)+c$
• Después de expandir los paréntesis, los mismos términos con incógnita en ambos lados

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Ejercicios interactivos

• Inecuaciones - Casos especiales - Practique el reconocimiento de casos especiales

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