Inecuaciones lineales con fracciones

Tabla de contenido

1. ¿Por qué fracciones en las inecuaciones?
2. Estrategia de resolución
3. Ejemplos
4. Fracciones mezcladas con números enteros
5. Verificación de la solución
6. Ejercicios interactivos

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1. ¿Por qué fracciones en las inecuaciones?

Las fracciones aparecen con bastante frecuencia en las inecuaciones, sobre todo en problemas prácticos. Por ejemplo:

• Repartir un todo en partes: $\frac{x}{3}>4$
• Comparar cocientes: $\frac{x+2}{5}\le 3$
• Combinar distintas fracciones: $\frac{x}{3}-\frac{x}{6}<2$

La clave para resolverlas es eliminar las fracciones multiplicando ambos lados por el denominador común.

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2. Estrategia de resolución

Procedimiento

1. Hallar el mínimo común denominador (m.c.d.) de todas las fracciones de la inecuación
2. Multiplicar ambos lados de la inecuación por ese denominador común
3. Simplificar — las fracciones desaparecen
4. Resolver la inecuación resultante de la forma habitual

Regla importante

ATENCIÓN: Si el denominador común es positivo (lo cual siempre ocurre en este artículo, ya que trabajamos solo con denominadores numéricos), el sentido de la desigualdad no cambia.

Si el denominador fuese negativo, el sentido de la desigualdad se invertiría. En este artículo solo trabajamos con denominadores conocidos y positivos (sin variables en el denominador).

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3. Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver: $\frac{x}{3}>4$

Paso 1: Multiplicamos ambos lados por 3 (positivo, el sentido no cambia) Solución: $x>12$, intervalo $(12,\infty )$

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Ejemplo 2

Resolver: $\frac{x+2}{5}\le 3$

Paso 1: Multiplicamos ambos lados por 5 Paso 2: Restamos 2 de ambos lados Solución: $x\le 13$, intervalo $(-\infty ,13]$

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Ejemplo 3

Resolver: $\frac{2x-1}{4}>\frac{x+3}{2}$

Paso 1: m.c.d. = 4. Multiplicamos ambos lados por 4 Paso 2: Expandimos el lado derecho Paso 3: Restamos $2x$ de ambos lados

Esto es una afirmación falsa. La inecuación no tiene solución: $x\in \varnothing$

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Ejemplo 4

Resolver: $\frac{x}{3}-\frac{x}{6}<2$

Paso 1: m.c.d. = 6. Multiplicamos cada término por 6 Paso 2: Agrupamos los términos semejantes Solución: $x<12$, intervalo $(-\infty ,12)$

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Ejemplo 5

Resolver: $\frac{3x+1}{2}-\frac{x-4}{3}\ge 1$

Paso 1: m.c.d. = 6. Multiplicamos cada término por 6 Paso 2: Expandimos los paréntesis Paso 3: Agrupamos los términos semejantes Paso 4: Restamos 11 de ambos lados Paso 5: Dividimos entre 7 Solución: $x\ge -\frac{5}{7}$, intervalo $\left[-\frac{5}{7},\infty \right)$

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Ejemplo 6

Resolver: $\frac{-x}{2}>3$

Paso 1: Multiplicamos ambos lados por 2 (positivo, el sentido no cambia) Paso 2: Multiplicamos ambos lados por $-1$ — ¡INVERTIMOS EL SENTIDO! Solución: $x<-6$, intervalo $(-\infty ,-6)$ Importante: El denominador 2 es positivo, así que al multiplicar por 2 el sentido no cambia. Pero después tenemos $-x>6$, lo cual implica multiplicar por $-1$, y entonces el sentido se invierte dando $x<-6$.

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4. Fracciones mezcladas con números enteros

Cuando en la inecuación hay una combinación de fracciones y números enteros, los números enteros también se multiplican por el denominador común.

Ejemplo

Resolver: $\frac{x}{4}+1>\frac{x}{2}$

Paso 1: m.c.d. = 4. Multiplicamos CADA término por 4 Paso 2: Restamos $x$ de ambos lados Solución: $x<4$, intervalo $(-\infty ,4)$

Errores frecuentes con expresiones mixtas

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5. Verificación de la solución

Verificación del Ejemplo 4: $\frac{x}{3}-\frac{x}{6}<2$, solución $x<12$

Sustituimos $x=6$ (número menor que 12):

• Lado izquierdo: $\frac{6}{3}-\frac{6}{6}=2-1=1$
• Lado derecho: $2$
• Verificación: $1<2$ ... $✓$ VERDADERO

Sustituimos $x=18$ (número mayor que 12, no debería cumplirse):

• Lado izquierdo: $\frac{18}{3}-\frac{18}{6}=6-3=3$
• Lado derecho: $2$
• Verificación: $3<2$ ... $\times$ FALSO

La solución $x<12$ es correcta.

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Ejercicios interactivos

• Inecuaciones - Con fracciones - Practique la resolución de inecuaciones con fracciones

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