Inecuaciones lineales - Incógnita en ambos lados

Tabla de contenido

1. ¿Cuándo está la incógnita en ambos lados?
2. Procedimiento de resolución
3. Ejemplos
4. Aviso importante
5. Verificación de la solución
6. Ejercicios

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1. ¿Cuándo está la incógnita en ambos lados?

La incógnita está en ambos lados cuando la inecuación contiene un término con $x$ tanto a la izquierda como a la derecha del signo de desigualdad.

Forma general:

donde $a$, $b$, $c$, $d$ son números reales y $a\ne c$.

Ejemplos de estas inecuaciones:

• $3x+2>x+8$
• $5x-4\le 2x+11$
• $2x+7>5x-2$

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2. Procedimiento de resolución

Paso 1: Trasladar todos los términos con $x$ a un lado (normalmente al izquierdo). Paso 2: Trasladar todos los términos numéricos al otro lado (normalmente al derecho). Paso 3: Simplificar ambos lados. Paso 4: Dividir entre el coeficiente de $x$.

Atención: Si el coeficiente de $x$ es negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.

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3. Ejemplos

Ejemplo 1: $3x+2>x+8$

Paso 1: Trasladamos $x$ del lado derecho al izquierdo (restamos $x$): Paso 2: Trasladamos $+2$ del lado izquierdo al derecho (restamos $2$): Paso 3: Simplificamos: Paso 4: Dividimos entre $2$ (positivo, el sentido no cambia): Solución: $x>3$, intervalo $(3,\infty )$

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Ejemplo 2: $5x-4\le 2x+11$

Paso 1: Restamos $2x$ de ambos lados: Paso 2: Sumamos $4$ a ambos lados: Paso 3: Simplificamos: Paso 4: Dividimos entre $3$ (positivo, el sentido no cambia): Solución: $x\le 5$, intervalo $(-\infty ,5]$

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Ejemplo 3: $2x+7>5x-2$

Paso 1: Restamos $5x$ de ambos lados: Paso 2: Restamos $7$ de ambos lados: Paso 3: Simplificamos: Paso 4: Dividimos entre $-3$ — es negativo, por lo tanto invertimos el sentido: Solución: $x<3$, intervalo $(-\infty ,3)$

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Ejemplo 4: $-x+3\ge 4x-12$

Paso 1: Restamos $4x$ de ambos lados: Paso 2: Restamos $3$ de ambos lados: Paso 3: Simplificamos: Paso 4: Dividimos entre $-5$ — es negativo, por lo tanto invertimos el sentido: Solución: $x\le 3$, intervalo $(-\infty ,3]$

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4. Aviso importante

Después de agrupar los términos con $x$ en un lado, el coeficiente de $x$ puede resultar negativo. En ese caso, al dividir:

Consejo: Si desea evitar la inversión del sentido, traslade los términos con $x$ al lado donde el coeficiente quede positivo. Por ejemplo, en $2x+7>5x-2$ traslade $2x$ a la derecha: $7>3x-2$, luego $9>3x$, es decir $3>x$, o sea $x<3$.

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5. Verificación de la solución

Verificamos la solución sustituyendo dos valores en la inecuación original:

1. Un valor dentro de la solución — la inecuación debe cumplirse
2. Un valor fuera de la solución — la inecuación no debe cumplirse

Verificación del ejemplo 3: $2x+7>5x-2$, solución $x<3$

Dentro de la solución ($x=0$):

• Lado izquierdo: $2(0)+7=7$
• Lado derecho: $5(0)-2=-2$
• $7>-2$ $✓$

Fuera de la solución ($x=5$):

• Lado izquierdo: $2(5)+7=17$
• Lado derecho: $5(5)-2=23$
• $17\ngtr 23$ $✓$

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6. Ejercicios

Para practicar

• $4x+1>2x+9$
• $6x-5\le 3x+7$
• $x+10>4x-2$
• $-2x+8\ge 3x-7$

Respuestas

• $x>4$
• $x\le 4$
• $x<4$
• $x\le 3$

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Ejercicios interactivos

• Inecuaciones - Básicas - Practique la resolución de inecuaciones
• Inecuaciones - Ambos lados - Incógnita en ambos lados

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