Inecuaciones lineales: Intervalos y conjuntos

Tabla de contenido

¿Qué es un intervalo?
Tipos de intervalos
Conversión de inecuación a intervalo
Notación de conjuntos
Ejemplos paso a paso
Conjunto vacío y todos los reales
Ejercicios interactivos
Artículos relacionados

1. ¿Qué es un intervalo?

Un intervalo es un conjunto continuo de todos los números reales comprendidos entre dos extremos. Lo usamos para expresar las soluciones de inecuaciones.

Por ejemplo, cuando resolvemos la inecuación $x > 3$ , la solución son todos los números mayores que 3: $3.01$ , $4$ , $100$ , $π$ , ... Estos números forman un intervalo.

¿Por qué usamos intervalos? No podemos enumerar todas las soluciones de una inecuación (hay infinitas). El intervalo es una forma concisa y precisa de expresar todo el conjunto de soluciones.

Notación del intervalo

Escribimos un intervalo mediante dos extremos y paréntesis:

Paréntesis redondo $($ o $)$ — el extremo no pertenece al intervalo
Corchete $[$ o $]$ — el extremo sí pertenece al intervalo

2. Tipos de intervalos

Intervalo abierto $(a, b)$

Contiene todos los números entre $a$ y $b$ , sin los extremos.

x \in (a, b) \Leftrightarrow a < x < b

Ejemplo: $(2, 5)$ = todos los números entre 2 y 5, sin incluir el 2 ni el 5.

Pertenecen: $2.1$ , $3$ , $4.99$ ... No pertenecen: $2$ , $5$ .

Intervalo cerrado $[a, b]$

Contiene todos los números entre $a$ y $b$ , incluyendo los extremos.

x \in [a, b] \Leftrightarrow a \leq x \leq b

Ejemplo: $[2, 5]$ = todos los números entre 2 y 5, incluyendo el 2 y el 5.

Pertenecen: $2$ , $2.1$ , $3$ , $4.99$ , $5$ . No pertenecen: $1.99$ , $5.01$ .

Intervalo semiabierto $[a, b)$ o $(a, b]$

Un extremo pertenece al intervalo y el otro no.

x \in [a, b) \Leftrightarrow a \leq x < b

x \in (a, b] \Leftrightarrow a < x \leq b

Ejemplo: $[2, 5)$ = desde 2 (incluido) hasta 5 (sin incluir).

Intervalos infinitos

En las inecuaciones lineales con una incógnita trabajamos casi siempre con intervalos infinitos — la solución se extiende hacia el infinito en una dirección.

Intervalo	Significado	Inecuación
$(a, \infty)$	todos los números mayores que $a$	$x > a$
$[a, \infty)$	todos los números mayores o iguales que $a$	$x \geq a$
$(- \infty, a)$	todos los números menores que $a$	$x < a$
$(- \infty, a]$	todos los números menores o iguales que $a$	$x \leq a$
$(- \infty, \infty)$	todos los números reales	inecuación siempre verdadera

Importante: El símbolo $\infty$ (infinito) no es un número, por lo tanto siempre se escribe con paréntesis redondo. Nunca escribimos $[\infty$ ni $\infty]$ .

3. Conversión de inecuación a intervalo

Tabla de referencia

Inecuación	Notación de intervalo	Tipo de paréntesis en la frontera
$x > a$	$(a, \infty)$	redondo (el punto no pertenece)
$x \geq a$	$[a, \infty)$	corchete (el punto pertenece)
$x < a$	$(- \infty, a)$	redondo (el punto no pertenece)
$x \leq a$	$(- \infty, a]$	corchete (el punto pertenece)

Regla para recordar

Desigualdad estricta ( $<$ , $>$ ) = paréntesis redondo $($ , $)$
Desigualdad no estricta ( $\leq$ , $\geq$ ) = corchete $[$ , $]$

Truco sencillo: Si el símbolo de desigualdad tiene una rayita debajo ( $\leq$ , $\geq$ ), se usa corchete. Si no la tiene ( $<$ , $>$ ), se usa paréntesis redondo.

4. Notación de conjuntos

La solución de una inecuación también se puede expresar mediante la notación de conjuntos (notación constructiva):

{x \in R ∣ x > 3}

Se lee: "Conjunto de todos los $x$ pertenecientes a los reales tales que $x$ es mayor que 3."

Estructura de la notación de conjuntos

{variable y dominio x \in R ∣ condici \overset{o}{ˊ} n x > 3}

$x$ — variable
$\in$ — pertenece a
$R$ — conjunto de los números reales
$∣$ — "tal que" (barra vertical)
condición — la inecuación que debe cumplir $x$

Ejemplos

Inecuación	Notación de conjuntos	Notación de intervalos
$x > 3$	${x \in R ∣ x > 3}$	$(3, \infty)$
$x \leq - 2$	${x \in R ∣ x \leq - 2}$	$(- \infty, - 2]$
$x \geq 0$	${x \in R ∣ x \geq 0}$	$[0, \infty)$
$x < 5$	${x \in R ∣ x < 5}$	$(- \infty, 5)$

En la práctica, en la enseñanza secundaria se usa sobre todo la notación de intervalos. La notación de conjuntos aparece más en la universidad.

5. Ejemplos paso a paso

Ejemplo 1: Inecuación sencilla

Resolver $3 x - 6 > 0$ y escribir la solución de tres formas.

Resolución:

3 x - 6 > 0

3 x > 6

x > 2

Tres formas de escritura:

Notación de desigualdad: $x > 2$
Notación de intervalos: $x \in (2, \infty)$
Notación de conjuntos: $x \in {x \in R ∣ x > 2}$

Ejemplo 2: Inecuación con coeficiente negativo

Resolver $- 4 x + 12 \leq 0$ y escribir la solución de tres formas.

Resolución:

- 4 x + 12 \leq 0

- 4 x \leq - 12

Dividimos entre $- 4$ (número negativo, ¡invertimos el sentido!):

x \geq 3

Tres formas de escritura:

Notación de desigualdad: $x \geq 3$
Notación de intervalos: $x \in [3, \infty)$
Notación de conjuntos: $x \in {x \in R ∣ x \geq 3}$

Ejemplo 3: Incógnita en ambos lados

Resolver $5 x + 2 < 3 x + 10$ y escribir la solución de tres formas.

Resolución:

5 x + 2 < 3 x + 10

5 x - 3 x < 10 - 2

2 x < 8

x < 4

Tres formas de escritura:

Notación de desigualdad: $x < 4$
Notación de intervalos: $x \in (- \infty, 4)$
Notación de conjuntos: $x \in {x \in R ∣ x < 4}$

Ejemplo 4: Desigualdad no estricta con traslado de términos

Resolver $7 - 2 x \geq 3 x - 8$ y escribir la solución.

Resolución:

7 - 2 x \geq 3 x - 8

7 + 8 \geq 3 x + 2 x

15 \geq 5 x

3 \geq x

Lo cual es lo mismo que:

x \leq 3

Tres formas de escritura:

Notación de desigualdad: $x \leq 3$
Notación de intervalos: $x \in (- \infty, 3]$
Notación de conjuntos: $x \in {x \in R ∣ x \leq 3}$

6. Conjunto vacío y todos los reales

Conjunto vacío $\emptyset$

Si la inecuación no tiene solución, el resultado es el conjunto vacío.

Ejemplo: $2 x + 1 > 2 x + 5$

1 > 5 (¡falso!)

Solución: $x \in \emptyset$

Significa que no existe ningún número real que satisfaga la inecuación.

Conjunto de todos los números reales $R$

Si la inecuación se cumple para cualquier $x$ , la solución es todo el conjunto de los reales.

Ejemplo: $2 x + 1 < 2 x + 5$

1 < 5 (¡siempre verdadero!)

Solución: $x \in R = (- \infty, \infty)$

Significa que cualquier número real es solución.

Resumen de casos especiales

Situación	Resultado	Notación
Afirmación falsa (p. ej. $3 > 7$ )	sin solución	$x \in \emptyset$
Afirmación verdadera (p. ej. $3 < 7$ )	todos los reales	$x \in R$
Falsa con $\leq$ (p. ej. $3 \leq 1$ )	sin solución	$x \in \emptyset$
Verdadera con $\geq$ (p. ej. $0 \geq 0$ )	todos los reales	$x \in R$

Resumen

Inecuación	Intervalo	Notación de conjuntos
$x > a$	$(a, \infty)$	${x \in R ∣ x > a}$
$x \geq a$	$[a, \infty)$	${x \in R ∣ x \geq a}$
$x < a$	$(- \infty, a)$	${x \in R ∣ x < a}$
$x \leq a$	$(- \infty, a]$	${x \in R ∣ x \leq a}$
sin solución	—	$\emptyset$
todos los números	$(- \infty, \infty)$	$R$

Ejercicios interactivos

Practique la notación de intervalos:

Inecuaciones - Intervalos - Escritura de soluciones como intervalos
Inecuaciones - Básicas - Inecuaciones sencillas
Inecuaciones - Recta numérica - Representación en la recta numérica
Inecuaciones - Casos especiales - Conjunto vacío y $R$

Inecuaciones lineales - Intervalos y conjuntos

Inecuaciones lineales: Intervalos y conjuntos

Tabla de contenido

1. ¿Qué es un intervalo?

Notación del intervalo

2. Tipos de intervalos

Intervalo abierto (a,b)

Intervalo cerrado [a,b]

Intervalo semiabierto [a,b) o (a,b]

Intervalos infinitos

3. Conversión de inecuación a intervalo

Tabla de referencia

Regla para recordar

4. Notación de conjuntos

Estructura de la notación de conjuntos

Ejemplos

5. Ejemplos paso a paso

Ejemplo 1: Inecuación sencilla

Ejemplo 2: Inecuación con coeficiente negativo

Ejemplo 3: Incógnita en ambos lados

Ejemplo 4: Desigualdad no estricta con traslado de términos

6. Conjunto vacío y todos los reales

Conjunto vacío ∅

Conjunto de todos los números reales R

Resumen de casos especiales

Resumen

Ejercicios interactivos

Artículos relacionados

Intervalo abierto $(a, b)$

Intervalo cerrado $[a, b]$

Intervalo semiabierto $[a, b)$ o $(a, b]$

Conjunto vacío $\emptyset$

Conjunto de todos los números reales $R$