Cubo de un binomio: Fórmulas extendidas

Contenido del artículo

1. Fórmula para (a + b)³
2. Por qué funciona la fórmula
3. Ejemplos
4. Fórmula para (a - b)³
5. Errores comunes
6. Ejercicios interactivos

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1. Fórmula para (a + b)³ {#fórmula-suma}

Cubo de una suma de dos términos:

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Triángulo de Pascal

Potencia	Coeficientes
$(a+b{)}^0$	$1$
$(a+b{)}^1$	$1,1$
$(a+b{)}^2$	$1,2,1$
$(a+b{)}^3$	$1,3,3,1$

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2. Por qué funciona la fórmula {#por-qué-funciona}

$$(a+b{)}^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$

O: $(a+b{)}^3=(a+b)(a+b{)}^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)$

$$=a^3+2a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b+2a{b}^2+b^3$$
$$=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

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3. Ejemplos {#ejemplos}

Ejemplo 1: Numérico

$$(2+3{)}^3=2^3+3\cdot 2^2\cdot 3+3\cdot 2\cdot 3^2+3^3$$
$$=8+36+54+27=125$$

Y efectivamente: $5^3=125$ ✓

Ejemplo 2: Variables

$$(x+2{)}^3=x^3+3x^2(2)+3x(2^2)+2^3$$
$$=x^3+6x^2+12x+8$$

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4. Fórmula para (a - b)³ {#fórmula-diferencia}

Cubo de una diferencia:

$$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$$

Los signos alternan: $+-+-$

Ejemplo

$$(x-2{)}^3=x^3-3x^2(2)+3x(2^2)-2^3$$
$$=x^3-6x^2+12x-8$$

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5. Errores comunes {#errores-comunes}

❌ Error 1: Coeficientes incorrectos

$$(a+b{)}^3\ne a^3+b^3$$

¡Faltan los términos intermedios $3a^{2}b+3a{b}^2$!

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6. Ejercicios interactivos {#ejercicios-interactivos}

Practica el cubo de un binomio:

• Cubo perfecto
• Completar el cuadrado
• Desarrollar

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Resumen de fórmulas

Fórmula	Forma
$(a+b{)}^3$	$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
$(a-b{)}^3$	$a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

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