Completar el cuadrado

Completar el cuadrado: Método completo

Contenido del artículo

¿Qué es completar el cuadrado?
Procedimiento básico
Derivar la fórmula
Ejemplos
Ecuaciones cuadráticas
Ejercicios interactivos

1. ¿Qué es completar el cuadrado? {#qué-es-completar}

Completar el cuadrado es una técnica que convierte una expresión cuadrática en la forma

(x + p)^{2} + q

.

Por ejemplo:

x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 4

¿Por qué es útil?

Resolver ecuaciones cuadráticas
Encontrar el vértice de una parábola
Integración (más adelante en matemáticas)

2. Procedimiento básico {#procedimiento-básico}

Para una expresión $x^{2} + b x$ :

El coeficiente de $x$ es $b$
La mitad de $b$ es $\frac{b}{2}$
Añadir y restar $(\frac{b}{2})^{2}$

x^{2} + b x = x^{2} + b x + (\frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2} = (x + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2}

3. Derivar la fórmula {#derivar-la-fórmula}

Ejemplo $x^{2} + 6 x$

Coeficiente $b = 6$

\frac{b}{2} = 3, (\frac{b}{2})^{2} = 9

x^{2} + 6 x + 9 - 9 = (x + 3)^{2} - 9

4. Ejemplos {#ejemplos}

Ejemplo 1: $x^{2} + 4 x + 1$

x^{2} + 4 x + 1 = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 + 1 = (x + 2)^{2} - 3

Ejemplo 2: $x^{2} - 8 x + 5$

x^{2} - 8 x + 5 = (x^{2} - 8 x + 16) - 16 + 5 = (x - 4)^{2} - 11

5. Ecuaciones cuadráticas {#ecuaciones-cuadráticas}

Resolver $x^{2} + 6 x + 5 = 0$

Completando el cuadrado:

x^{2} + 6 x + 9 = - 5 + 9

(x + 3)^{2} = 4

x + 3 = \pm 2

x = - 1 o x = - 5

6. Ejercicios interactivos {#ejercicios-interactivos}

Practica completar el cuadrado:

Resumen

Expresión	Forma completada
$x^{2} + b x$	$(x + \frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2}$
$x^{2} + 6 x + 5$	$(x + 3)^{2} - 4$

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