Wie viel ist √2 · √8? Der Taschenrechner zeigt 1,414… · 2,828… = 4. Aus zwei „unendlichen“ Zahlen wird eine ganze Zahl. Das ist kein Zufall: √2 · √8 = √16 = 4.
Beim Multiplizieren verhalten sich Wurzeln viel freundlicher als beim Addieren — multiplizieren kann man sie immer, auch wenn verschiedene Zahlen darunter stehen.
Wurzeln multiplizieren wir, indem wir die Radikanden multiplizieren. Danach ziehen wir teilweise die Wurzel.
Beispiel 1
√10 · √2
√10 · √2 = √20.
√20 = √(4 · 5) = 2√5.
Beispiel 2
√3 · √12
√3 · √12 = √36 = 6.
Eine Wurzel mal sich selbst ergibt die Zahl darunter: √a · √a = a. Zum Beispiel √7 · √7 = 7.
Wurzeln dividieren
√a : √b = √(a : b) (für a ≥ 0, b > 0)
Beispiel 3
√80 : √5
√80 : √5 = √(80 : 5) = √16 = 4.
Beispiel 4
√54 : √3
√(54 : 3) = √18 = 3√2.
Zahlen vor der Wurzel
Die Zahlen vor der Wurzel multiplizieren wir miteinander, die Wurzeln miteinander.
Beispiel 5
2√6 · 3√10
2 · 3 = 6 und √6 · √10 = √60.
√60 = √(4 · 15) = 2√15.
6 · 2√15 = 12√15.
Eine Klammer ausmultiplizieren
Die Wurzel vor der Klammer multiplizieren wir mit jedem Glied in der Klammer — genau wie bei Termen: a(b + c) = ab + ac.
Beispiel 6
√5 · (√20 − 3)
√5 · √20 = √100 = 10.
√5 · 3 = 3√5.
Ergebnis: 10 − 3√5.
Das Ergebnis hat zwei Teile: eine Zahl ohne Wurzel (10) und ein Vielfaches einer Wurzel (−3√5). Weiter zusammenfassen geht nicht, wie bei 10 Äpfeln und 3 Birnen. So ein Ergebnis schreiben wir in der Form p + q√r.
Binomische Formeln mit Wurzeln
Die bekannten Formeln gelten weiter:
(a + b)(a − b) = a² − b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Beispiel 7
(√3 + 5)(√3 − 5)
Nach der Formel: (√3)² − 5².
(√3)² = 3 und 5² = 25.
3 − 25 = −22.
Die Wurzel ist verschwunden — diesen Trick nutzen wir, wenn wir den Nenner rational machen.
Beispiel 8
(√2 + √3)²
a = √2, b = √3: a² = 2, b² = 3, 2ab = 2√6.
2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6.
Beispiel 9
(2 + √3)(1 − √3)
Wir multiplizieren „jedes mit jedem“:
2 · 1 = 2
2 · (−√3) = −2√3
√3 · 1 = √3
√3 · (−√3) = −3
Zusammen: 2 − 2√3 + √3 − 3 = −1 − √3.
Häufige Fehler
(√2 + √3)² = 2 + 3. Es fehlt das mittlere Glied 2ab = 2√6. Richtig ist 5 + 2√6.
2√3 · 4√3 = 8√3. Auch die Wurzeln werden multipliziert: √3 · √3 = 3, also 2√3 · 4√3 = 8 · 3 = 24.
Ergebnis nicht vereinfacht. √10 · √2 = √20 muss noch zu 2√5 vereinfacht werden.
(√a)² als 2√a geschrieben. Eine Wurzel zum Quadrat ergibt die Zahl darunter: (√7)² = 7.
Kurz gesagt
√a · √b = √(ab), √a : √b = √(a : b), √a · √a = a.
Multipliziere die Zahlen vor der Wurzel und die Wurzeln getrennt; zieh danach teilweise die Wurzel.
Klammern multiplizierst du aus wie bei Termen, oder du verwendest die binomischen Formeln.
