Wurzeln addieren und subtrahieren

Wurzeln addieren und subtrahieren

Im Korb liegen 3 Äpfel, wir legen 5 Äpfel dazu — jetzt sind es 8 Äpfel. Legen wir aber 5 Birnen dazu, sind es weder 8 Äpfel noch 8 Birnen — es bleiben 3 Äpfel und 5 Birnen.

Mit Wurzeln ist es genauso. 3√2 + 5√2 = 8√2, denn wir addieren gleiche „Dinge“ — Wurzeln aus zwei. Aber √2 + √3 lässt sich nicht als eine einzige Zahl schreiben.

Inhalt

Gleiche Wurzeln

Glieder mit gleicher Wurzel fassen wir zusammen, indem wir die Zahlen davor addieren oder subtrahieren. Die Wurzel bleibt gleich.

a√r + b√r = (a + b)√r

√2 allein bedeutet 1 · √2 — die 1 schreibt man nicht.

Beispiel 1

3√2 + 5√2 − √2

  1. Alle Glieder haben √2.
  2. Die Zahlen vor der Wurzel: 3 + 5 − 1 = 7.
  3. 3√2 + 5√2 − √2 = 7√2.

Erst teilweise die Wurzel ziehen

Wurzeln, die verschieden aussehen, können nach teilweisem Wurzelziehen gleich sein.

Beispiel 2

√12 + √27

  1. √12 = √(4 · 3) = 2√3.
  2. √27 = √(9 · 3) = 3√3.
  3. 2√3 + 3√3 = 5√3.

Beispiel 3

√50 − √18

  1. √50 = √(25 · 2) = 5√2.
  2. √18 = √(9 · 2) = 3√2.
  3. 5√2 − 3√2 = 2√2.

Mehr Glieder und Zahlen vor der Wurzel

Steht eine Zahl vor der Wurzel, multiplizieren wir sie mit dem, was wir aus der Wurzel herausziehen.

Beispiel 4

2√48 − 3√12 + √3

  1. 2√48 = 2 · √(16 · 3) = 2 · 4√3 = 8√3.
  2. 3√12 = 3 · √(4 · 3) = 3 · 2√3 = 6√3.
  3. 8√3 − 6√3 + √3 = (8 − 6 + 1)√3 = 3√3.

Beispiel 5

√8 + √12 − √18

  1. √8 = 2√2, √12 = 2√3, √18 = 3√2.
  2. 2√2 + 2√3 − 3√2 = −√2 + 2√3.
  3. Die Wurzeln √2 und √3 sind verschieden, weiter zusammenfassen geht nicht. Ergebnis: 2√3 − √2.

Dritte Wurzeln

Das Vorgehen ist dasselbe, nur suchen wir beim teilweisen Wurzelziehen Kubikzahlen (8, 27, 64, 125 …).

Beispiel 6

∛16 + ∛54

  1. ∛16 = ∛(8 · 2) = 2∛2.
  2. ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2.
  3. 2∛2 + 3∛2 = 5∛2.

⚠️ Eine Quadratwurzel und eine dritte Wurzel kann man nicht zusammenfassen: √2 + ∛2 bleibt, wie es ist.

Häufige Fehler

  • Die Radikanden addieren. √2 + √3 ist nicht √5. Probe: √2 + √3 ≈ 1,41 + 1,73 = 3,14, aber √5 ≈ 2,24.
  • Teilweises Wurzelziehen vergessen. √12 + √27 sieht aus wie eine Summe, die man nicht zusammenfassen kann, ist aber 5√3.
  • Die unsichtbare Eins vergessen. 5√3 − √3 = 4√3, nicht 5.
  • Die Zahl vor der Wurzel vergessen. 2√48 = 2 · 4√3 = 8√3, nicht 4√3.

Kurz gesagt

  • Zusammenfassen lassen sich nur gleiche Wurzeln (gleicher Wurzelexponent und gleicher Radikand).
  • a√r + b√r = (a + b)√r — addiert werden die Zahlen vor der Wurzel.
  • Zieh vor dem Addieren bei jeder Wurzel teilweise die Wurzel.
  • Glieder mit verschiedenen Wurzeln lässt du nebeneinander stehen.

Probier es selbst

  1. 4√5 − 7√5 + 2√5
  2. √20 + √45
  3. 3√8 − √32
  4. 2∛24 − ∛81
Lösungen:
  1. (4 − 7 + 2)√5 = −√5.
  2. 2√5 + 3√5 = 5√5.
  3. 3 · 2√2 − 4√2 = 6√2 − 4√2 = 2√2.
  4. 2 · 2∛3 − 3∛3 = 4∛3 − 3∛3 = ∛3.

Übe weiter

👉 Weiter: Wurzeln multiplizieren und dividieren