Ein quadratisches Beet hat eine Fläche von 72 m². Wie lang ist eine Seite? Gesucht ist die Zahl, die quadriert 72 ergibt, also √72. Der Taschenrechner zeigt 8,485 2… — eine Zahl, die nie endet. Genau schreiben können wir sie nur mit einer Wurzel.
Die Schreibweise √72 lässt sich aber zu 6√2 vereinfachen. Beide Zahlen sind gleich, die zweite Schreibweise ist nur kürzer, und man rechnet leichter mit ihr. Dieses Vorgehen heißt teilweises Wurzelziehen (oder teilweise radizieren).
Die Quadratwurzel aus einer Zahl a (man liest „Wurzel aus a“ und schreibt √a) ist die nicht negative Zahl, die quadriert a ergibt. Zum Beispiel ist √36 = 6, denn 6² = 36.
Die dritte Wurzel oder Kubikwurzel aus einer Zahl a (man liest „dritte Wurzel aus a“ und schreibt ∛a) ist die Zahl, die hoch drei genommen a ergibt. Zum Beispiel ist ∛8 = 2, denn 2³ = 8.
Die Zahl unter der Wurzel heißt Radikand. Die kleine Zahl links oben bei ∛ ist der Wurzelexponent — er sagt, die wievielte Wurzel es ist. Bei der Quadratwurzel schreibt man die Zwei nicht.
Es lohnt sich, die Quadrat- und Kubikzahlen kleiner Zahlen zu kennen:
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n²
4
9
16
25
36
49
64
81
100
n³
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
Die Grundidee
Die Wurzel aus einem Produkt ist gleich dem Produkt der Wurzeln:
√(a · b) = √a · √b (für a ≥ 0, b ≥ 0)
Prüfen wir das an einem Beispiel: √(4 · 9) = √36 = 6 und √4 · √9 = 2 · 3 = 6. Stimmt.
Zerlegen wir also den Radikanden in ein Produkt, in dem ein Faktor eine Quadratzahl ist, können wir aus dieser Quadratzahl die Wurzel ziehen und sie vor die Wurzel schreiben.
Schritt für Schritt
Beispiel 1
√72
Wir suchen die größte Quadratzahl, die 72 teilt. Wir probieren von oben: 64 nicht, 49 nicht, 36 ja — 72 = 36 · 2.
√72 = √(36 · 2) = √36 · √2.
√36 = 6, also √72 = 6√2.
Man liest 6√2 als „sechs mal Wurzel aus zwei“ — es bedeutet 6 · √2.
Beispiel 2
√180
180 = 36 · 5.
√180 = √36 · √5 = 6√5.
So findest du die größte Quadratzahl
Wenn du sie nicht sofort siehst, zerlege die Zahl in Primfaktoren und suche Paare: 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Aus jedem Paar kommt eine Zahl vor die Wurzel: 2 · 3 = 6. Unter der Wurzel bleibt, was keinen Partner hat: 5. Also √180 = 6√5.
💡 Es macht nichts, wenn du zuerst eine kleinere Quadratzahl herausziehst: √72 = √(4 · 18) = 2√18. Aber in 18 = 9 · 2 steckt noch eine Quadratzahl, also machst du weiter: 2√18 = 2 · 3√2 = 6√2. Fertig bist du erst, wenn unter der Wurzel keine Quadratzahl außer 1 mehr steckt.
Eine Zahl vor der Wurzel
Steht schon eine Zahl vor der Wurzel, multiplizieren wir sie mit dem, was wir herausziehen.
Beispiel 3
3√50
50 = 25 · 2, also √50 = 5√2.
3√50 = 3 · 5√2 = 15√2.
Die dritte Wurzel
Bei der dritten Wurzel suchen wir statt einer Quadratzahl eine Kubikzahl (dritte Potenz): 8, 27, 64, 125 …
∛(a · b) = ∛a · ∛b
Beispiel 4
∛54
54 = 27 · 2 und 27 = 3³.
∛54 = ∛27 · ∛2 = 3∛2.
Beispiel 5
∛250
250 = 125 · 2 und 125 = 5³.
∛250 = 5∛2.
⚠️ Bei der dritten Wurzel reicht eine Quadratzahl nicht. ∛72 = ∛(8 · 9) = 2∛9 — die Neun bleibt unter der dritten Wurzel, denn 9 ist keine Kubikzahl.
Wurzeln mit Variablen
Mit Variablen geht es genauso. Bei der Quadratwurzel suchen wir gerade Potenzen: a² = a · a, a⁴ = a² · a². Wir nehmen a ≥ 0 an, damit die Terme einen Sinn haben (und die Wurzel aus a² wirklich a ist).
Beispiel 6
√(18a³), a ≥ 0
Die Zahl: 18 = 9 · 2.
Die Variable: a³ = a² · a.
√(18a³) = √(9a² · 2a) = √(9a²) · √(2a) = 3a√(2a).
Beispiel 7
∛(16b⁵)
16 = 8 · 2, b⁵ = b³ · b².
∛(16b⁵) = ∛(8b³) · ∛(2b²) = 2b∛(2b²).
Häufige Fehler
Nicht fertig vereinfacht. √72 = 2√18 ist richtig, aber noch nicht das Ende — in 18 steckt noch die Quadratzahl 9.
Wurzel aus einer Summe gliedweise ziehen. √(9 + 16) ist nicht 3 + 4 = 7. Richtig ist √25 = 5. Die Regel √(a · b) = √a · √b gilt nur für ein Produkt.
Der herausgezogene Faktor bleibt auch unter der Wurzel. √(36 · 2) ist 6√2, nicht 6√72 und nicht 6√(36 · 2).
Quadratzahl bei der dritten Wurzel. ∛18 lässt sich nicht über die 9 vereinfachen — wir suchen eine Kubikzahl.
Kurz gesagt
√(a · b) = √a · √b und ∛(a · b) = ∛a · ∛b.
Zerlege den Radikanden in ein Produkt mit einer Quadratzahl (bei ∛ mit einer Kubikzahl), zieh daraus die Wurzel und schreib sie vor die Wurzel.
Eine Zahl, die schon vor der Wurzel steht, multiplizierst du mit dem Herausgezogenen.
Fertig bist du, wenn unter der Wurzel keine Quadratzahl (Kubikzahl) außer 1 mehr steckt.
