Faktor unter die Wurzel bringen und Wurzeln vergleichen
Welche Zahl ist größer: 2√7 oder 3√3? Auf den ersten Blick hat die erste die kleinere Zahl vor der Wurzel, aber die größere darunter. Ohne Taschenrechner entscheiden wir das mit einem einfachen Trick — wir schreiben beide Zahlen so um, dass sie ganz unter der Wurzel stehen.
Dieser Schritt ist das Gegenteil des teilweisen Wurzelziehens und heißt einen Faktor unter die Wurzel bringen.
Bei der dritten Wurzel nehmen wir hoch drei: 2³ = 8.
2∛5 = ∛(8 · 5) = ∛40.
Beispiel 4
3∜2 (vierte Wurzel — wir nehmen hoch vier)
3⁴ = 81.
3∜2 = ∜(81 · 2) = ∜162.
Wurzeln vergleichen
Die Quadratwurzel wächst: Je größer die Zahl darunter, desto größer die Wurzel. Deshalb reicht es, beide Zahlen unter die Wurzel zu bringen und die Radikanden zu vergleichen.
Beispiel 5
2√7 und 3√3
2√7 = √(4 · 7) = √28.
3√3 = √(9 · 3) = √27.
28 > 27, also 2√7 > 3√3.
Der Taschenrechner bestätigt es: 2√7 ≈ 5,29 und 3√3 ≈ 5,20.
Beispiel 6
3√5 und 7
3√5 = √45.
7 = √49.
45 < 49, also 3√5 < 7.
Beispiel 7
2√18 und 3√8
2√18 = √(4 · 18) = √72.
3√8 = √(9 · 8) = √72.
Beide Zahlen sind gleich: 2√18 = 3√8. (Nach teilweisem Wurzelziehen sind beide 6√2.)
Beispiel 8
3∛2 und 2∛6
3∛2 = ∛(27 · 2) = ∛54.
2∛6 = ∛(8 · 6) = ∛48.
54 > 48, also 3∛2 > 2∛6.
Häufige Fehler
Die Zahl wird nicht quadriert. 3√2 ist nicht √6. Die Drei kommt als 3² = 9 unter die Wurzel, also √18.
Bei der dritten Wurzel nur quadriert. 2∛5 ist nicht ∛20. Richtig ist 2³ · 5 = 40, also ∛40.
Nur nach der Zahl vor der Wurzel verglichen. 3√3 hat vorne die größere Zahl als 2√7 und ist trotzdem kleiner.
Verschiedene Wurzeln verglichen. √28 und ∛28 kann man so nicht vergleichen — beide Zahlen müssen unter dieselbe Wurzel.
Kurz gesagt
a√b = √(a²b), a∛b = ∛(a³b).
Einen Faktor unter die Wurzel bringen ist das Gegenteil des teilweisen Wurzelziehens.
Zwei Wurzeln vergleichst du, indem du beide unter dieselbe Wurzel bringst und die Radikanden vergleichst.
Auch eine ganze Zahl lässt sich als Wurzel schreiben: 7 = √49.
