Potenzen mit rationalen Exponenten

Potenzen mit rationalen Exponenten

Du weißt, was 2³ ist (2 · 2 · 2 = 8) und was 2⁻¹ ist (1/2). Aber was bedeutet 9^(1/2) — „neun hoch ein halb“? Man kann die Neun ja nicht „halb so oft“ mit sich selbst multiplizieren.

Mathematiker haben sich auf eine Bedeutung geeinigt, bei der alle bekannten Potenzgesetze weiter gelten. Und es stellt sich heraus: Ein Bruch im Exponenten ist eine andere Schreibweise für eine Wurzel: 9^(1/2) = √9 = 3.

Inhalt

Warum ein Bruch im Exponenten eine Wurzel ist

Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert: aʳ · aˢ = a^(r + s). Soll das auch für Hälften gelten, muss

9^(1/2) · 9^(1/2) = 9^(1/2 + 1/2) = 9¹ = 9

sein. Gesucht ist also eine positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt. Das ist genau √9 = 3. Ebenso gilt 8^(1/3) · 8^(1/3) · 8^(1/3) = 8, also ist 8^(1/3) = ∛8 = 2.

Die allgemeine Regel

Für a > 0 und natürliche Zahlen m, n gilt:

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ

Man liest: „a hoch m n-tel ist die n-te Wurzel aus a hoch m“.

  • Der Nenner n sagt, die wievielte Wurzel es ist.
  • Der Zähler m sagt, mit welcher Hochzahl potenziert wird.

Zum Beispiel ist a^(1/2) = √a, a^(1/3) = ∛a, a^(3/4) = ∜(a³).

Den Wert berechnen

💡 Beim Berechnen ist es günstiger, zuerst die Wurzel zu ziehen und dann zu potenzieren — so bleiben die Zahlen klein.

Beispiel 1

8^(2/3)

  1. Nenner 3 — dritte Wurzel: ∛8 = 2.
  2. Zähler 2 — zum Quadrat: 2² = 4.
  3. 8^(2/3) = 4.

Beispiel 2

32^(2/5)

  1. ⁵√32 = 2, denn 2⁵ = 32.
  2. 2² = 4.

Beispiel 3

36^(3/2)

  1. √36 = 6.
  2. 6³ = 216.

Negativer Exponent und Bruch in der Basis

Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert: a⁻ʳ = 1/aʳ.

Beispiel 4

16^(−3/4)

  1. 16^(−3/4) = 1/16^(3/4).
  2. ∜16 = 2 und 2³ = 8.
  3. 16^(−3/4) = 1/8.

Beispiel 5

(4/9)^(3/2)

  1. Wir ziehen die Wurzel aus Zähler und Nenner: √4 = 2, √9 = 3.
  2. (2/3)³ = 8/27.

Beispiel 6

(1/8)^(−2/3)

  1. Der negative Exponent dreht den Bruch um: (1/8)^(−2/3) = 8^(2/3).
  2. 8^(2/3) = 4 (siehe Beispiel 1).

Wurzeln als Potenzen schreiben

Die Regel funktioniert auch umgekehrt: Eine Wurzel schreiben wir als Potenz mit einem Bruch im Exponenten. Wir nehmen a > 0 an.

Wurzel√a∛(a²)⁵√(a³)1/√a1/∛(a²)
Potenza^(1/2)a^(2/3)a^(3/5)a^(−1/2)a^(−2/3)

Rechnen mit Potenzen

Es gelten dieselben Gesetze wie bei ganzzahligen Exponenten:

GesetzBeispiel
aʳ · aˢ = a^(r + s)a^(1/2) · a^(1/3) = a^(5/6)
aʳ : aˢ = a^(r − s)a^(5/4) : a^(1/2) = a^(3/4)
(aʳ)ˢ = a^(r · s)(a^(2/3))^(3/4) = a^(1/2)

Beispiel 7

√a · ∛a

  1. Als Potenzen schreiben: a^(1/2) · a^(1/3).
  2. Exponenten addieren: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
  3. √a · ∛a = a^(5/6) = ⁶√(a⁵).

Beispiel 8

√(a · ∛a)

  1. Innen: a · ∛a = a¹ · a^(1/3) = a^(4/3).
  2. Quadratwurzel = Exponent 1/2: (a^(4/3))^(1/2) = a^(4/3 · 1/2) = a^(2/3).
  3. √(a · ∛a) = a^(2/3).

Häufige Fehler

  • Bruch im Exponenten als Multiplikation. 8^(2/3) ist nicht 8 · 2/3. Richtig ist (∛8)² = 4.
  • Zähler und Nenner vertauscht. ∛(a²) = a^(2/3), nicht a^(3/2). Der Wurzelexponent kommt in den Nenner.
  • Negativer Exponent als negative Zahl. 16^(−3/4) = 1/8, nicht −8.
  • Brüche falsch addiert. 1/2 + 1/3 ist nicht 2/5, sondern 5/6.

Kurz gesagt

  • a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ): Nenner = die wievielte Wurzel, Zähler = welche Hochzahl.
  • Beim Berechnen zuerst die Wurzel ziehen, dann potenzieren.
  • Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert.
  • Produkt von Potenzen: Exponenten addieren, Quotient: subtrahieren, Potenz einer Potenz: multiplizieren.

Probier es selbst

  1. 27^(2/3)
  2. 25^(−1/2)
  3. Schreib als Potenz: ∜(a³)
  4. a^(3/4) · a^(1/2)
  5. ∛(a²) : √a
Lösungen:
  1. ∛27 = 3, 3² = 9.
  2. 1/√25 = 1/5.
  3. a^(3/4).
  4. a^(3/4 + 2/4) = a^(5/4).
  5. a^(2/3 − 1/2) = a^(4/6 − 3/6) = a^(1/6).

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