Nenner rational machen

Nenner rational machen

Wie viel ist 1/√2? Wenn du von Hand rechnen musst, musst du durch 1,414 21… teilen — unangenehm. Aber 1/√2 ist dasselbe wie √2/2, und das ist einfach die Hälfte von 1,414 21…, also 0,707 1…

Einen Bruch so umzuschreiben, dass im Nenner keine Wurzel steht, nennt man den Nenner rational machen. Das Ergebnis lässt sich dann leichter abschätzen, vergleichen und mit anderen Wurzeln addieren.

Inhalt

Die Grundidee: den Bruch erweitern

Ein Bruch ändert sich nicht, wenn wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren (ihn erweitern). Zum Beispiel 1/2 = 3/6.

Wir erweitern mit einer Zahl, bei der die Wurzel im Nenner verschwindet. Dabei helfen zwei Regeln aus dem Artikel Wurzeln multiplizieren und dividieren:

  • √a · √a = a
  • (√a + b)(√a − b) = a − b²

Eine Wurzel im Nenner

Wir erweitern den Bruch mit derselben Wurzel, die im Nenner steht.

Beispiel 1

1/√2

  1. Wir erweitern mit √2: (1 · √2)/(√2 · √2).
  2. √2 · √2 = 2.
  3. 1/√2 = √2/2.

Beispiel 2

6/√3

  1. Wir erweitern mit √3: 6√3/(√3 · √3) = 6√3/3.
  2. Wir kürzen 6 und 3: 2√3.

Eine Zahl vor der Wurzel und eine Wurzel im Zähler

Beispiel 3

10/(3√5)

  1. Wir erweitern mit √5 (die Drei bleibt stehen): 10√5/(3 · 5) = 10√5/15.
  2. Wir kürzen 10 und 15 durch 5: 2√5/3.

Beispiel 4

√3/√8

  1. Wir erweitern mit √8: √3 · √8/8 = √24/8.
  2. √24 = 2√6, also 2√6/8.
  3. Wir kürzen: √6/4.

💡 Schneller geht es, wenn du zuerst den Nenner vereinfachst. √8 = 2√2, also reicht es, mit √2 zu erweitern: √3/(2√2) = √6/(2 · 2) = √6/4.

Ein Binom im Nenner

Steht im Nenner eine Summe oder Differenz, zum Beispiel √5 − √2, hilft das Erweitern mit √5 nicht. Wir erweitern mit demselben Binom, aber mit umgekehrtem Vorzeichen in der Mitte — also mit √5 + √2. Im Nenner entsteht dann (a − b)(a + b) = a² − b², und die Wurzeln verschwinden.

Beispiel 5

1/(√5 − √2)

  1. Wir erweitern mit (√5 + √2).
  2. Nenner: (√5 − √2)(√5 + √2) = (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3.
  3. Zähler: 1 · (√5 + √2) = √5 + √2.
  4. 1/(√5 − √2) = (√5 + √2)/3.

Beispiel 6

3/(√7 + 2)

  1. Wir erweitern mit (√7 − 2).
  2. Nenner: (√7)² − 2² = 7 − 4 = 3.
  3. Zähler: 3(√7 − 2).
  4. 3(√7 − 2)/3 = √7 − 2.

Probe mit dem Taschenrechner: 3/(2,646 + 2) ≈ 0,646 und √7 − 2 ≈ 0,646 ✓.

Häufige Fehler

  • Nur den Nenner erweitert. 1/√2 ist nicht 1/2. Erweitert werden immer Zähler und Nenner.
  • Beim Binom nur mit einer Wurzel erweitert. 1/(√5 − √2) mit √5 erweitert ergibt (√5)/(5 − √10) — die Wurzel im Nenner ist geblieben.
  • Gleiches statt umgekehrtes Vorzeichen. (√5 − √2)(√5 − √2) = 7 − 2√10, die Wurzel ist nicht verschwunden.
  • Ergebnis nicht gekürzt. 6√3/3 muss noch zu 2√3 gekürzt werden.

Kurz gesagt

  • Den Nenner rational machen = die Wurzel aus dem Nenner entfernen.
  • Eine einzelne Wurzel √a im Nenner entfernst du durch Erweitern mit √a.
  • Ein Binom √a − b erweiterst du mit √a + b (und umgekehrt); dabei hilft die Formel (x − y)(x + y) = x² − y².
  • Zum Schluss kürzen.

Probier es selbst

  1. 4/√2
  2. 5/(2√10)
  3. 2/(√3 + 1)
  4. 4/(√6 − √2)
Lösungen:
  1. 4√2/2 = 2√2.
  2. 5√10/20 = √10/4.
  3. 2(√3 − 1)/(3 − 1) = √3 − 1.
  4. 4(√6 + √2)/(6 − 2) = √6 + √2.

Übe weiter

👉 Weiter: Potenzen mit rationalen Exponenten