Sachaufgaben mit Verhältnissen und Dreisatz
Verhältnis und Dreisatz gehören in Klasse 7 zu den wichtigsten Werkzeugen, um zwei oder mehr Größen miteinander in Beziehung zu setzen. Das Verhältnis sagt, „in welchem Verhältnis" etwas aufgeteilt wird; der Dreisatz beantwortet die Frage „wie viel kommt auf einen anderen Wert".
Zweigliedriges Verhältnis
Aufgabe. Mia und Jan teilen 60 € im Verhältnis 2 : 3. Um wie viele € hat derjenige mit dem größeren Anteil mehr?
Lösung:
- Summe der Teile: `2 + 3 = 5` Teile.
- Ein Teil ist `60 / 5 = 12 €` wert.
- Kleinerer Anteil: `2 · 12 = 24 €`. Größerer Anteil: `3 · 12 = 36 €`.
- Differenz: `36 − 24 = 12 €`.
Dreigliedriges Verhältnis
Aufgabe. Ein Gewinn von 90 € wird im Verhältnis 1 : 2 : 3 verteilt. Wie viel entfällt auf den mittleren Anteil?
Lösung:
- Summe: `1 + 2 + 3 = 6` Teile.
- Ein Teil: `90 / 6 = 15 €`.
- Mittlerer Anteil: `2 · 15 = 30 €`.
Dreisatz — direkte Proportionalität
Direkte Proportionalität: Wird Größe A mit `k` multipliziert, so wird auch B mit `k` multipliziert. Symbolisch: `A1 / B1 = A2 / B2`.
Aufgabe. 4 Hefte kosten 6 €. Wie viel kosten 10 Hefte?
Lösung:
- Ein Heft kostet `6 / 4 = 1,50 €`.
- 10 Hefte kosten `10 · 1,50 = 15 €`.
Dreisatz — indirekte Proportionalität
Indirekte Proportionalität: Wird A mit `k` multipliziert, so wird B durch `k` geteilt. Das Produkt `A · B` bleibt konstant.
Aufgabe. 3 Arbeiter sind in 12 Tagen fertig. Wie viele Tage brauchen 6 Arbeiter beim gleichen Tempo?
Lösung:
- Gesamtarbeit = `3 · 12 = 36` Arbeitertage.
- Bei 6 Arbeitern: `36 / 6 = 6` Tage.
Wie erkennt man direkt und indirekt?
- Mehr vom einen → mehr vom anderen: direkt (Preis, Sprit, Masse).
- Mehr vom einen → weniger vom anderen: indirekt (Arbeiter und Tage, Geschwindigkeit und Zeit).