Betrag und Gegenzahl

Betrag und Gegenzahl

Im vorherigen Artikel haben wir gesehen, dass negativ links von der Null und positiv rechts davon liegt. Hier schauen wir uns zwei Ideen an, die natürlich daraus folgen: die Gegenzahl und der Betrag.

Die Gegenzahl

Die Gegenzahl einer Zahl liegt auf der Zahlengeraden gleich weit von der Null entfernt — aber auf der anderen Seite.

Die Gegenzahl zu 3 ist −3. Die Gegenzahl zu −5 ist 5. Die Gegenzahl zu 0 ist 0 selbst.

Anders gesagt: Die Gegenzahl hat denselben Abstand zur Null, aber das entgegengesetzte Vorzeichen.

Auf der Zahlengeraden sind `3` und `−3` Spiegelbilder voneinander — die Null ist der „Spiegel":

Der Betrag

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null auf der Zahlengeraden. Ein Abstand kann nie negativ sein — der Betrag ist also nie kleiner als 0.

Wir schreiben ihn zwischen zwei senkrechte Striche: `|x|`.

`|3| = 3` — von 0 bis 3 sind es 3 Einheiten.

`|−3| = 3` — von 0 bis −3 sind es ebenfalls 3 Einheiten.

`|0| = 0`.

Eine einfache Regel:

  • Ist die Zahl positiv oder 0, so ist der Betrag dieselbe Zahl: `|7| = 7`.
  • Ist die Zahl negativ, so ist der Betrag die Zahl ohne Minus: `|−7| = 7`.

Wie beides zusammenhängt

  • Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Betrag: `|−4| = |4| = 4`.
  • Die Summe aus einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist immer null: `4 + (−4) = 0`.

Wo das im Alltag auftaucht

  • Abstand der Temperatur vom Gefrierpunkt. Bei −5 °C draußen beträgt die „Abweichung von 0" 5 Grad. Das ist `|−5|`.
  • Verlust vs. Gewinn. „Verlust von 50 €" hat denselben Betrag wie „Gewinn von 50 €" — nur das umgekehrte Vorzeichen.
  • Über/unter dem Meeresspiegel. Ein Hubschrauber 120 m über dem Meer (+120) und ein U-Boot 120 m darunter (−120) haben denselben Abstand zum Meeresspiegel.

Häufige Fallen

  • `|−3|` ist nicht `−3`. Ein Betrag ist immer positiv oder null.
  • Die Gegenzahl von 0 ist immer noch 0. Die Null hat keine andere Seite des Spiegels.
  • `−|3|` heißt „minus den Betrag von 3", also `−3`. Das ist etwas anderes als `|−3|` = 3. Achte darauf, ob das Minus innerhalb oder außerhalb der Striche steht.

Was du übst