Lineare Funktion

Die lineare Funktion ist der wichtigste Funktionstyp in der Schulmathematik. Ihr Graph ist eine Gerade und du begegnest ihr in vielen Aufgaben. In diesem Artikel lernst du alles, was du darüber wissen musst.

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Inhaltsverzeichnis

• Was ist eine lineare Funktion
• Parameter k – Steigung
• Parameter q – y-Achsenabschnitt
• Den Graphen zeichnen
• Spezialfälle
• Steigende und fallende Funktionen
• Parallele Geraden
• Vergleich der Graphen
• Gleichung aus dem Graphen bestimmen
• Übungen

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Was ist eine lineare Funktion

Eine lineare Funktion hat die Form:

wobei:

• $k$ die Steigung (Slope) ist – gibt die Neigung der Geraden an
• $q$ das absolute Glied ist – gibt den y-Achsenabschnitt an

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.

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Parameter k – Steigung

Die Steigung $k$ sagt, um wie viel sich $y$ ändert, wenn $x$ um $1$ wächst.

• $k>0$ → Gerade steigt von links nach rechts (steigende Funktion)
• $k<0$ → Gerade fällt von links nach rechts (fallende Funktion)
• $k=0$ → Gerade ist waagerecht (konstante Funktion)
• $|k|$ groß → Gerade ist steil
• $|k|$ klein → Gerade ist flach

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Parameter q – y-Achsenabschnitt

Der Parameter $q$ ist der Funktionswert an der Stelle $x=0$:

Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist der Punkt $[0,q]$.

Beispiele:

• $y=2x+3$: Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $[0,3]$
• $y=-x-1$: Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $[0,-1]$
• $y=5x$: Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $[0,0]$ → verläuft durch den Ursprung

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Den Graphen zeichnen

Zum Zeichnen einer Geraden genügen 2 Punkte (ein dritter zur Kontrolle):

Methode 1: Wertetabelle

1. Wähle 2–3 Werte für $x$ (z.B. $0,1,2$)
2. Berechne $f(x)$ für jedes $x$
3. Trage die Punkte ins Koordinatensystem ein
4. Verbinde sie mit einer Geraden

Methode 2: Schnittpunkt + Steigung

1. Zeichne den Punkt $[0,q]$ (Schnittpunkt mit der $y$-Achse)
2. Gehe von diesem Punkt $1$ nach rechts und $k$ nach oben (wenn $k>0$) oder unten (wenn $k<0$)
3. Verbinde die Punkte mit einer Geraden

Beispiel: $f(x)=2x+1$

💡 Die roten Linien zeigen die Steigung: Gehe $1$ nach rechts (+1 auf der $x$-Achse) und $2$ nach oben (+2 auf der $y$-Achse). Steigung $k=2$.

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Spezialfälle

q = 0 → Direkte Proportionalität

Wenn $q=0$, wird die lineare Funktion zu $y=kx$ – direkter Proportionalität.

👉 Ausführlicher: Direkte Proportionalität

k = 0 → Konstante Funktion

Wenn $k=0$, wird die Funktion zu $y=q$ – einer konstanten Funktion.

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Steigende und fallende Funktionen

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Parallele Geraden

Zwei lineare Funktionen haben parallele Graphen, wenn sie die gleiche Steigung $k$ haben.

Beispiel: $y=2x+1$ und $y=2x-3$ sind parallel (beide haben $k=2$).

Parallele Geraden schneiden sich nie (gleiche Steigung, unterschiedliche Verschiebung).

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Vergleich der Graphen

Vergleichen wir drei Funktionen: $y=2x+1$, $y=-x+2$, $y=0,5x-1$

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Gleichung aus dem Graphen bestimmen

Wenn du einen Graphen hast und die Gleichung $y=kx+q$ bestimmen willst:

Schritt 1: q bestimmen

Finde den Punkt, an dem der Graph die $y$-Achse schneidet. Die $y$-Koordinate ist $q$.

Schritt 2: k bestimmen

Finde zwei Punkte auf der Geraden, z.B. $[x_1,y_1]$ und $[x_2,y_2]$.

Beispiel

Der Graph schneidet die $y$-Achse im Punkt $[0,-2]$ und verläuft durch $[3,4]$.

• $q=-2$
• $k=\frac{4-(-2)}{3-0}=\frac{6}{3}=2$
• Gleichung: $y=2x-2$

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Übungen

1. Zeichne den Graphen von $y=-2x+4$ und bestimme die Schnittpunkte mit beiden Achsen
2. Bestimme die Gleichung der linearen Funktion durch $[1,5]$ und $[3,11]$
3. Sind die Geraden $y=3x+1$ und $y=3x-7$ parallel?
4. Zeichne in ein Koordinatensystem: $y=x+2$, $y=x-1$, $y=-x+2$

Interaktive Übungen:

• Übung: Lineare Funktion
• Übung: Graphen von Funktionen
• Übung: Ablesen aus dem Graphen

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