Indirekte Proportionalität

Die indirekte Proportionalität ist ein Funktionstyp, bei dem die eine Größe wächst, wenn die andere fällt – und umgekehrt. Du begegnest ihr bei Aufgaben über Arbeiter und Zeit, Geschwindigkeit und Zeit oder Druck und Volumen. In diesem Artikel erklären wir sie ausführlich.

Inhaltsverzeichnis

Was ist indirekte Proportionalität
Proportionalitätskonstante k
Wertetabelle
Graph – Hyperbel
Eigenschaften des Graphen
Beispiele aus der Praxis
Definitionsbereich und Wertebereich
Indirekte Proportionalität erkennen
Übungen

Was ist indirekte Proportionalität

Indirekte Proportionalität ist eine Funktion der Form:

y = \frac{k}{x}

wobei $k$ eine von Null verschiedene Konstante ist.

Entscheidende Eigenschaft:

Wenn sich $x$ um das $n$ -Fache vergrößert, verkleinert sich $y$ um das $n$ -Fache (und umgekehrt).

Das Produkt $x \cdot y$ ist immer konstant und gleich $k$ :

x \cdot y = k

Proportionalitätskonstante k

Die Konstante $k$ ist das Produkt eines beliebigen Paares $x$ und $y$ :

k = x \cdot y

Beispiel: Wenn 4 Arbeiter eine Aufgabe in 6 Stunden erledigen, ist

k = 4 \cdot 6 = 24

$k > 0$ → Hyperbel liegt im I. und III. Quadranten
$k < 0$ → Hyperbel liegt im II. und IV. Quadranten

Wertetabelle

Für $f (x) = \frac{12}{x}$ (also $k = 12$ ):

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$12$
$f (x)$	$12$	$6$	$4$	$3$	$2$	$1$

Kontrolle:

x \cdot f (x) = 12

für jede Spalte.

$1 \cdot 12 = 12$ ✓
$2 \cdot 6 = 12$ ✓
$3 \cdot 4 = 12$ ✓

Graph – Hyperbel

Der Graph der indirekten Proportionalität heißt Hyperbel. Er besteht aus zwei Ästen.

Graph y = 12/x

Eigenschaften des Graphen

Schneidet nie die $x$ -Achse – weil $\frac{k}{x}$ nie Null wird
Schneidet nie die $y$ -Achse – weil für $x = 0$ die Funktion nicht definiert ist
Die Achsen sind Asymptoten – der Graph nähert sich ihnen unendlich, erreicht sie aber nie
Zwei Äste – einer im I. und III. Quadranten (für $k > 0$ ), oder im II. und IV. (für $k < 0$ )
Symmetriezentrum ist der Ursprung $[0, 0]$

⚠️ Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph unendlich nähert, sie aber nie erreicht.

Beispiele aus der Praxis

Arbeiter und Zeit

6 Arbeiter erledigen eine Aufgabe in 10 Tagen. Wie viele Tage brauchen 15 Arbeiter?

$k = 6 \cdot 10 = 60$
Gleichung: $t = \frac{60}{n}$ , wobei $n$ = Anzahl Arbeiter, $t$ = Zeit in Tagen

t = \frac{60}{15} = 4 Tage

Geschwindigkeit und Zeit bei konstanter Strecke

Die Entfernung zur Schule beträgt 12 km.

Gleichung: $t = \frac{12}{v}$ , wobei $v$ = Geschwindigkeit (km/h), $t$ = Zeit (h)

Geschwindigkeit (km/h)	$4$	$6$	$12$	$24$
Zeit (h)	$3$	$2$	$1$	$0, 5$

💡 Je schneller du fährst, desto eher kommst du an – das ist indirekte Proportionalität.

Definitionsbereich und Wertebereich

Für $f (x) = \frac{k}{x}$ :

D (f) = R ∖ {0}

W (f) = R ∖ {0}

👉 Ausführlicher: Definitionsbereich | Wertebereich