Wertebereich einer Funktion

Der Wertebereich sagt uns, welche Werte $y$ die Funktion annimmt. Während der Definitionsbereich nach $x$ fragt, fragt der Wertebereich nach $y$. In diesem Artikel lernst du, den Wertebereich aus der Gleichung und aus dem Graphen zu bestimmen.

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Inhaltsverzeichnis

• Was ist der Wertebereich
• Schreibweise
• Wertebereich linearer Funktionen
• Wertebereich konstanter Funktionen
• Wertebereich für y = x²
• Wertebereich für y = √x
• Ablesen aus dem Graphen
• Vergleich D(f) und W(f)
• Übungen

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Was ist der Wertebereich

Der Wertebereich einer Funktion $f$ (geschrieben $W(f)$) ist die Menge aller Werte $y$, die die Funktion annimmt.

Anders gesagt: Es sind alle Zahlen, die als Ausgabe der Funktion auftreten können.

💡 Einfache Frage: Welche Werte $y$ kann man aus dieser Funktion erhalten?

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Schreibweise

Den Wertebereich schreiben wir als:

Zum Beispiel:

• $W(f)=\mathbb{R}$ (die Funktion nimmt alle reellen Werte an)
• $W(f)=[0,+\infty )$ (nur nichtnegative Werte)
• $W(f)=\{5\}$ (nur einen einzigen Wert)

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Wertebereich linearer Funktionen

Für lineare Funktionen $f(x)=kx+q$ (wobei $k\ne 0$):

Lineare Funktionen nehmen alle reellen Werte an. Ihr Graph (Gerade) reicht von $-\infty$ bis $+\infty$ in Richtung der $y$-Achse.

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Wertebereich konstanter Funktionen

Für konstante Funktionen $f(x)=q$ (wobei $k=0$):

Die Funktion nimmt nur einen einzigen Wert an, egal welches $x$ wir einsetzen.

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Wertebereich für y = x²

Für die Funktion $f(x)=x^2$:

• $x^2$ ist immer nichtnegativ (das Quadrat jeder Zahl ist $\ge 0$)
• Der kleinste Wert ist $f(0)=0$
• Die Funktion wächst ins Unendliche

Allgemeiner: $f(x)=x^2+q$

• $W(f)=[q,+\infty )$

Beispiele:

• $f(x)=x^2+3$ → $W(f)=[3,+\infty )$
• $f(x)=x^2-5$ → $W(f)=[-5,+\infty )$

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Wertebereich für y = √x

Für die Funktion $f(x)=\sqrt{x}$:

• Die Quadratwurzel ist immer nichtnegativ
• Der kleinste Wert ist $f(0)=0$
• Die Funktion wächst ins Unendliche

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Ablesen aus dem Graphen

Den Wertebereich bestimmen wir aus dem Graphen, indem wir schauen, welchen Bereich der Graph auf der $y$-Achse abdeckt.

Vorgehen:

1. Betrachte den Graphen
2. Bestimme den niedrigsten $y$-Wert, den der Graph erreicht
3. Bestimme den höchsten $y$-Wert, den der Graph erreicht
4. Der Wertebereich ist das Intervall dazwischen

💡 Tipp: Stelle dir vor, du „projizierst" den Graphen auf die $y$-Achse. Der Schatten auf der $y$-Achse ist der Wertebereich.

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Vergleich D(f) und W(f)

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Übungen

Bestimme den Wertebereich folgender Funktionen:

1. $f(x)=4x-1$
2. $f(x)=7$
3. $f(x)=x^2+2$
4. $f(x)=-x^2$

5. $f(x)=\sqrt{x+1}$

Interaktive Übungen:

• Übung: Wertebereich

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