Definitionsbereich einer Funktion

Der Definitionsbereich sagt uns, welche Werte $x$ wir in die Funktion einsetzen dürfen. Nicht immer können wir nämlich jede beliebige Zahl einsetzen. In diesem Artikel lernst du, den Definitionsbereich zu bestimmen und korrekt aufzuschreiben.

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Inhaltsverzeichnis

• Was ist der Definitionsbereich
• Schreibweise
• Definitionsbereich linearer Funktionen
• Wann D(f) ≠ R gilt
• Brüche – Nenner darf nicht null sein
• Wurzeln – Ausdruck unter der Wurzel muss nichtnegativ sein
• Intervallschreibweise
• Graphische Darstellung
• Übungen

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Was ist der Definitionsbereich

Der Definitionsbereich einer Funktion $f$ (geschrieben $D(f)$) ist die Menge aller zulässigen Werte $x$, für die die Funktion definiert ist.

Anders gesagt: Es sind alle Zahlen, die wir in die Funktion einsetzen können, um ein sinnvolles Ergebnis zu erhalten.

💡 Einfache Frage: Für welche $x$ kann ich $f(x)$ berechnen?

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Schreibweise

Den Definitionsbereich schreiben wir als:

Zum Beispiel:

• $D(f)=\mathbb{R}$ (alle reellen Zahlen)
• $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (alle reellen Zahlen außer Null)
• $D(f)=[0,+\infty )$ (nichtnegative reelle Zahlen)

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Definitionsbereich linearer Funktionen

Für lineare Funktionen $f(x)=kx+q$ gilt:

In eine lineare Funktion können wir jede beliebige reelle Zahl einsetzen. Es gibt keine Einschränkung.

Beispiele:

• $f(x)=3x+2$ → $D(f)=\mathbb{R}$
• $f(x)=-x+7$ → $D(f)=\mathbb{R}$
• $f(x)=5x$ → $D(f)=\mathbb{R}$

Dasselbe gilt für die direkte Proportionalität $f(x)=kx$: $D(f)=\mathbb{R}$.

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Wann D(f) ≠ R gilt

Der Definitionsbereich ist nicht ganz $\mathbb{R}$, wenn in der Funktion vorkommt:

In der 8. und 9. Klasse begegnest du am häufigsten Brüchen und Wurzeln.

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Brüche – Nenner darf nicht null sein

Wenn in der Funktion ein Bruch vorkommt, muss der Nenner ungleich null sein (Division durch Null ist nicht definiert).

Beispiel 1: $f(x)=\frac{1}{x}$

Nenner: $x$

Bedingung: $x\ne 0$

Beispiel 2: $f(x)=\frac{3}{x-2}$

Nenner: $x-2$

Bedingung: $x-2\ne 0⟹x\ne 2$

Beispiel 3: $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$

Nenner: $x^2-4=(x-2)(x+2)$

Bedingung: $x\ne 2$ und $x\ne -2$

⚠️ Vorgehen: Setze den Nenner = 0, löse die Gleichung, und schließe die gefundenen $x$ aus dem Definitionsbereich aus.

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Wurzeln – Ausdruck unter der Wurzel muss nichtnegativ sein

Wenn in der Funktion eine Wurzel vorkommt, muss der Ausdruck darunter $\ge 0$ sein (aus reellen Zahlen kann man keine negativen Zahlen ziehen).

Beispiel 1: $f(x)=\sqrt{x}$

Bedingung: $x\ge 0$

Beispiel 2: $f(x)=\sqrt{x-3}$

Bedingung: $x-3\ge 0⟹x\ge 3$

Beispiel 3: $f(x)=\sqrt{4-x}$

Bedingung: $4-x\ge 0⟹x\le 4$

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Intervallschreibweise

Zur Beschreibung des Definitionsbereichs verwenden wir Intervalle:

💡 Tipp: Bei Unendlich ($\infty$) verwenden wir immer eine runde Klammer – Unendlich ist keine Zahl und kann nicht „erreicht" werden.

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Graphische Darstellung

Im Graphen sehen wir den Definitionsbereich als den Teil der $x$-Achse, für den der Graph existiert.

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Übungen

Bestimme den Definitionsbereich folgender Funktionen:

1. $f(x)=5x-3$
2. $f(x)=\frac{2}{x+1}$

3. $f(x)=\sqrt{x-5}$

1. $f(x)=\frac{1}{x^2-9}$

5. $f(x)=\sqrt{2x+6}$

Interaktive Übungen:

• Übung: Definitionsbereich

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