Funktionen - Graphische Darstellung

Der Graph einer Funktion ist die anschaulichste Art, eine Funktion darzustellen. Du erkennst sofort, ob die Funktion steigt oder fällt, wo sie die Achsen schneidet und welche Werte sie annimmt. Dieser Artikel zeigt dir, wie du Graphen zeichnest und liest.

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Inhaltsverzeichnis

• Das Koordinatensystem
• Einen Punkt zeichnen
• Einen Funktionsgraphen zeichnen
• Graph einer linearen Funktion
• Graph der direkten Proportionalität
• Aus dem Graphen ablesen
• Schnittpunkte mit den Achsen
• Steigende und fallende Funktionen
• Übungen

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Das Koordinatensystem

Den Graphen einer Funktion zeichnen wir im Koordinatensystem (kartesisches Koordinatensystem). Es besteht aus:

• $x$-Achse (waagerecht) – unabhängige Variable
• $y$-Achse (senkrecht) – abhängige Variable
• Ursprung $[0,0]$ – der Punkt, an dem sich die Achsen schneiden

Das Koordinatensystem teilt die Ebene in 4 Quadranten:

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Einen Punkt zeichnen

Einen Punkt im Koordinatensystem schreiben wir als $[x,y]$.

Vorgehen:

1. Auf der $x$-Achse den Wert $x$ finden
2. Auf der $y$-Achse den Wert $y$ finden
3. Der Punkt liegt am Schnittpunkt dieser beiden Werte

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Einen Funktionsgraphen zeichnen

Den Graphen einer Funktion zeichnen wir in drei Schritten:

1. Erstelle eine Wertetabelle (wähle mindestens 5 Werte für $x$)
2. Trage die Punkte ins Koordinatensystem ein
3. Verbinde die Punkte mit einer glatten Linie (oder Geraden)

👉 Wie man eine Tabelle ausfüllt: Funktionen - Wertetabelle

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Graph einer linearen Funktion

Für die Funktion $f(x)=2x+1$ zeichnen wir den Graphen:

Tabelle:

💡 Tipp: Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Es reicht also, 2 Punkte zu zeichnen und sie zu verbinden. Ein dritter Punkt dient zur Kontrolle.

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Graph der direkten Proportionalität

Die direkte Proportionalität $f(x)=kx$ hat einen Graphen, der immer durch den Ursprung $[0,0]$ verläuft.

Vergleichen wir drei Funktionen: $y=2x$, $y=x$, $y=0,5x$

Je größer der Koeffizient $k$, desto steiler die Gerade.

👉 Ausführlicher: Direkte Proportionalität

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Aus dem Graphen ablesen

Funktionswert für ein gegebenes x

1. Finde den Wert auf der $x$-Achse
2. Gehe senkrecht nach oben (oder unten) zum Graphen
3. Lies den Wert $y$ auf der $y$-Achse ab

x-Wert für einen gegebenen Funktionswert

1. Finde den Wert auf der $y$-Achse
2. Gehe waagerecht zum Graphen
3. Lies den Wert $x$ auf der $x$-Achse ab

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Schnittpunkte mit den Achsen

Schnittpunkt mit der y-Achse

Der Punkt, an dem der Graph die $y$-Achse schneidet. Wir finden ihn durch Einsetzen von $x=0$:

Für $f(x)=2x+1$: der Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist $[0,1]$.

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)

Der Punkt, an dem der Graph die $x$-Achse schneidet. Wir finden ihn durch Lösen von $f(x)=0$:

Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse ist $[-0,5;0]$.

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Steigende und fallende Funktionen

Steigende Funktion

Wenn $x$ wächst, wächst auch $y$. Der Graph geht von links unten nach rechts oben.

Für lineare Funktionen: $k>0$ → steigend.

Fallende Funktion

Wenn $x$ wächst, fällt $y$. Der Graph geht von links oben nach rechts unten.

Für lineare Funktionen: $k<0$ → fallend.

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Übungen

1. Zeichne den Graphen von $f(x)=-x+3$ für $x\in \{-1,0,1,2,3,4\}$
2. Zeichne den Graphen von $f(x)=0,5x-1$ für $x\in \{-2,0,2,4\}$
3. Bestimme aus dem Graphen: Ist die Funktion steigend oder fallend?
4. Finde die Schnittpunkte mit den Achsen für $f(x)=3x-6$

Interaktive Übungen:

• Übung: Graphen von Funktionen
• Übung: Ablesen aus dem Graphen
• Übung: Lineare Funktion

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📖 Weitere Artikel zum Thema Funktionen:

• Funktionen - Kompletter Leitfaden
• Funktionen - Wertetabelle
• Abhängige und unabhängige Variable
• Direkte Proportionalität
• Lineare Funktion
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