Direkte Proportionalität

Die direkte Proportionalität ist der einfachste Funktionstyp. Du begegnest ihr überall: Preis pro Kilogramm, Lohn pro Arbeitsstunde, zurückgelegte Strecke bei konstanter Geschwindigkeit. In diesem Artikel lernst du ihre Gleichung, ihren Graphen und ihre praktische Anwendung.

Inhaltsverzeichnis

Was ist direkte Proportionalität
Proportionalitätsfaktor k
Wertetabelle
Graph der direkten Proportionalität
Vergleich der Graphen für verschiedene k
Beispiele aus der Praxis
Direkte Proportionalität erkennen
Übungen

Was ist direkte Proportionalität

Direkte Proportionalität ist eine Funktion der Form:

y = k x

wobei $k$ eine von Null verschiedene Konstante ist, der Proportionalitätsfaktor.

Entscheidende Eigenschaft:

Wenn sich $x$ um das $n$ -Fache vergrößert, vergrößert sich auch $y$ um das $n$ -Fache.

Beispiel: Wenn 1 kg Äpfel 1,50 € kostet, kosten 3 kg $3 \times 1, 50 = 4, 50$ €. Dreifacher Einkauf = dreifacher Preis.

Proportionalitätsfaktor k

Der Faktor $k$ bestimmt die Wachstumsrate der Funktion:

$k > 0$ → Funktion ist steigend
$k < 0$ → Funktion ist fallend
$∣ k ∣$ groß → Gerade ist steil
$∣ k ∣$ klein → Gerade ist flach

Den Faktor $k$ berechnen wir:

k = \frac{y}{x}

für einen beliebigen Punkt $[x, y]$ auf dem Graphen (außer $[0, 0]$ ).

Wertetabelle

Für $f (x) = 2 x$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$- 6$	$- 4$	$- 2$	$0$	$2$	$4$	$6$

💡 Beachte: Für $x = 0$ ist immer $f (0) = k \cdot 0 = 0$ . Der Graph der direkten Proportionalität verläuft immer durch den Ursprung $[0, 0]$ .

Graph der direkten Proportionalität

Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung $[0, 0]$ .

Vergleich der Graphen

Vergleichen wir: $y = 2 x$ , $y = 0, 5 x$ und $y = - x$

Funktion	$k$	Typ	Steilheit
$y = 2 x$	$2$	steigend	steil
$y = 0, 5 x$	$0, 5$	steigend	flach
$y = - x$	$- 1$	fallend	mittel

💡 Beachte: Alle drei Geraden verlaufen durch den Punkt $[0, 0]$ – das Kennzeichen der direkten Proportionalität.

Beispiele aus der Praxis

Preis pro Kilogramm

Äpfel kosten 2 € pro Kilogramm.

Gleichung: $f (x) = 2 x$ , wobei $x$ = Anzahl kg, $y$ = Preis in €
$k = 2$ (Preis pro 1 kg)

Geschwindigkeit und Strecke

Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 60 km/h.

Gleichung: $s = 60 t$ , wobei $t$ = Zeit in Stunden, $s$ = Strecke in km
$k = 60$

Umfang eines Quadrats

Gleichung: $U = 4 a$ , wobei $a$ = Seitenlänge, $U$ = Umfang
$k = 4$