Lineare Gleichungen mit Brüchen

Inhalt

Gleichungen mit Brüchen
Unbekannte im Zähler
Unbekannte im Nenner
Brüche früh entfernen
Beispiele

1. Gleichungen mit Brüchen

Brüche in Gleichungen können einschüchternd aussehen, aber dasselbe Balanceprinzip gilt.

Beispiel mit Brüchen

\frac{x}{3} + 5 = 12

2. Unbekannte im Zähler

Dies ist der Standardfall: $\frac{x}{a} = b$

Formel: Multiplizieren Sie beide Seiten mit

a

Beispiel

Lösen Sie: $\frac{x}{4} = 7$

Schritt 1: Multiplizieren Sie beide Seiten mit 4

\frac{x}{4} \times 4 = 7 \times 4

Schritt 2: Berechnen Sie

x = 28

Schritt 3: Überprüfen Sie

\frac{28}{4} = 7 ✓

3. Unbekannte im Nenner

Wenn $x$ im Nenner ist, müssen wir vorsichtig sein.

Beispiel

Lösen Sie: $\frac{6}{x} = 2$

Schritt 1: Multiplizieren Sie beide Seiten mit

x

\frac{6}{x} \times x = 2 \times x

6 = 2 x

Schritt 2: Dividieren Sie beide Seiten durch 2

x = 3

Schritt 3: Überprüfen Sie (denken Sie daran: nie durch Null dividieren!)

\frac{6}{3} = 2 ✓

Wichtig:

x \neq = 0

da wir nicht durch Null dividieren können!

4. Brüche früh entfernen

Eine hilfreiche Technik ist, die gesamte Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren, um nicht mit Brüchen arbeiten zu müssen.

Beispiel

Lösen Sie: $\frac{x + 2}{3} = 5$

Methode 1: Direkter Ansatz

\frac{x + 2}{3} = 5 \Rightarrow x + 2 = 15 \Rightarrow x = 13

Methode 2: Brüche zuerst entfernen

\frac{x + 2}{3} = 5 \Rightarrow (x + 2) = 5 \times 3 = 15 \Rightarrow x = 13

Beide Methoden funktionieren! Methode 2 ist oft sauberer.

5. Beispiele

Beispiel 1: Unbekannte im Zähler

Lösen Sie: $\frac{2 x}{3} = 8$

Schritt 1: Multipliziere beide Seiten mit 3
        2x = 24
Schritt 2: Dividiere beide Seiten durch 2
        x = 12

Überprüfung: $\frac{2 \times 12}{3} = \frac{24}{3} = 8 ✓$

Beispiel 2: Unbekannte im Nenner

Lösen Sie: $\frac{12}{x} = 4$

Schritt 1: Multipliziere beide Seiten mit x
        12 = 4x
Schritt 2: Dividiere beide Seiten durch 4
        x = 3

Überprüfung: $\frac{12}{3} = 4 ✓$

Beispiel 3: Komplexe Brüche

Lösen Sie: $\frac{x + 5}{2} = 7$

Schritt 1: Multipliziere beide Seiten mit 2
        x + 5 = 14
Schritt 2: Subtrahiere 5 von beiden Seiten
        x = 9

Überprüfung: $\frac{9 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7 ✓$

Zusammenfassung

Situation	Methode
$\frac{x}{a} = b$	Multipliziere beide Seiten mit $a$ : $x = ab$
$\frac{a}{x} = b$	Multipliziere beide Seiten mit $x$ , dann dividiere: $x = a / b$
$\frac{a x}{b} = c$	Multipliziere mit $b$ , dann dividiere durch $a$ : $x = b c / a$

Lineare Gleichungen mit Brüchen

Lineare Gleichungen mit Brüchen

Inhalt

1. Gleichungen mit Brüchen

Beispiel mit Brüchen

2. Unbekannte im Zähler

Beispiel

3. Unbekannte im Nenner

Beispiel

4. Brüche früh entfernen

Beispiel

5. Beispiele

Beispiel 1: Unbekannte im Zähler

Beispiel 2: Unbekannte im Nenner

Beispiel 3: Komplexe Brüche

Zusammenfassung

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