Povrch a objem těles – kompletní průvodce

Prostorová tělesa nás obklopují každý den -- plechovky, střechy budov, míče, pyramidy. V tomto průvodci se dozvíš, jak vypočítat jejich povrch a objem, a získáš přehled o nejdůležitějších vzorcích.

Obsah článku

Co jsou prostorová tělesa?
Povrch a objem -- základní pojmy
Přehled těles
Hranol a válec
Jehlan a kužel
Koule
Jak postupovat při řešení úloh
Časté chyby
Cvičení a související články

Co jsou prostorová tělesa?

Prostorová tělesa (3D tělesa) jsou útvary, které mají tři rozměry -- délku, šířku a výšku. Na rozdíl od rovinných útvarů (čtverec, kruh) zabírají místo v prostoru.

Každé těleso má:

Povrch -- celková plocha jeho vnějšího obalu (měří se v $cm^{2}$ , $m^{2}$ apod.)
Objem -- množství prostoru, které těleso zabírá (měří se v $cm^{3}$ , $m^{3}$ , litrech apod.)

Povrch a objem -- základní pojmy

Povrch

Povrch tělesa je součet obsahů všech jeho stěn (ploch). U těles s rovnými stěnami sčítáme obsahy jednotlivých mnohoúhelníků. U těles se zakřivenými plochami (válec, kužel, koule) používáme speciální vzorce.

S = S_{podstav} + S_{pl \overset{a}{ˊ} \overset{s}{ˇ} t \overset{e}{ˇ}}

Objem

Objem vyjadřuje, kolik prostoru těleso zabírá. Základní princip pro mnohá tělesa:

V = S_{podstavy} \cdot h

kde $h$ je výška tělesa. Tento vzorec platí přímo pro hranoly a válce. Pro jehlany a kužely se objem rovná třetině tohoto součinu.

Přehled těles

Těleso	Podstava	Plášť	Vzorec pro objem
Hranol	2× mnohoúhelník	obdélníky	$V = S_{p} \cdot h$
Válec	2× kruh	zakřivená plocha	$V = π r^{2} h$
Jehlan	1× mnohoúhelník	trojúhelníky	$V = \frac{1}{3} S_{p} \cdot h$
Kužel	1× kruh	zakřivená plocha	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$
Koule	žádná	celá plocha zakřivená	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Hranol a válec

Hranol a válec mají společný princip -- dvě shodné podstavy spojené pláštěm, objem se počítá jako obsah podstavy krát výška.

Válec

Válec je rotační těleso s kruhovými podstavami:

S = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r (r + h)

V = π r^{2} h

Podrobně v článku: Povrch a objem válce

Jehlan a kužel

Jehlan a kužel mají jednu podstavu a sbíhají se do jednoho bodu (vrcholu). Jejich objem je vždy třetina objemu odpovídajícího hranolu nebo válce.

Jehlan

V = \frac{1}{3} S_{p} \cdot h

Podrobně v článku: Povrch a objem jehlanu

Kužel

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Podrobně v článku: Povrch a objem kužele

Koule

Koule je jedinečná tím, že nemá žádnou podstavu ani plášť v obvyklém smyslu -- celý její povrch je zakřivená plocha.

S = 4 π r^{2}

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Podrobně v článku: Povrch a objem koule

Jak postupovat při řešení úloh

Urči typ tělesa -- válec, jehlan, kužel, koule?
Vypiš si známé hodnoty -- poloměr, výška, strana podstavy...
Zvol správný vzorec -- povrch nebo objem?
Dosaď a vypočítej -- postupuj krok za krokem
Zkontroluj jednotky -- povrch v $cm^{2}$ , objem v $cm^{3}$
Ověř výsledek -- dává smysl? Není záporný?

Tip: Pokud potřebuješ najít chybějící rozměr (např. poloměr z objemu), vyjádři ho ze vzorce a teprve pak dosazuj.

Časté chyby

Záměna poloměru a průměru -- pokud je zadán průměr $d$ , nezapomeň: $r = d /2$
Špatné jednotky -- povrch je v $cm^{2}$ , objem v $cm^{3}$ . Při převodech buď opatrný
Zapomenutí na podstavu -- u válce jsou dvě podstavy, u kužele jedna
Zaokrouhlování $π$ -- pokud to zadání nevyžaduje, nechej výsledek ve tvaru s $π$
Záměna výšky tělesa a strany pláště -- u kužele a jehlanu rozlišuj výšku $h$ a délku tvořicí úsečky $s$

Cvičení a související články

Články k jednotlivým tělesům

Povrch a objem válce -- válec krok za krokem
Povrch a objem jehlanu -- jehlan krok za krokem
Povrch a objem kužele -- kužel krok za krokem
Povrch a objem koule -- koule krok za krokem
Přehled vzorců -- všechny vzorce na jednom místě

Cvičení

Povrch válce -- procvič si výpočet povrchu
Objem válce -- procvič si výpočet objemu
Povrch a objem jehlanu -- různé typy úloh
Povrch a objem kužele -- různé typy úloh
Povrch a objem koule -- různé typy úloh

Užitečné znalosti

Pythagorova věta -- využiješ u kužele a jehlanu