Povrch a objem jehlanu

Jehlan je těleso, které známe z egyptských pyramid. Má jednu podstavu a boční stěny ve tvaru trojúhelníků, které se sbíhají do jednoho vrcholu. V tomto článku si ukážeme, jak vypočítat jeho povrch a objem.

Obsah článku

Co je jehlan?
Důležité rozměry
Vzorce pro jehlan
Příklad 1: Objem čtyřbokého jehlanu
Příklad 2: Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu
Příklad 3: Výška jehlanu z objemu
Pythagorova věta u jehlanu
Časté chyby
Cvičení a související články

Co je jehlan?

Jehlan je prostorové těleso, které má:

Jednu podstavu -- mnohoúhelník (trojúhelník, čtverec, obdélník, pravidelný n-úhelník)
Boční stěny -- trojúhelníky, které spojují strany podstavy s vrcholem jehlanu
Vrchol -- bod, ve kterém se sbíhají všechny boční stěny

Nejčastěji se setkáš s pravidelným čtyřbokým jehlanem -- jeho podstava je čtverec a vrchol leží kolmo nad středem podstavy.

Důležité rozměry

$a$ -- strana podstavy (u pravidelného jehlanu jsou všechny strany stejné)
$h$ -- výška jehlanu -- kolmá vzdálenost od podstavy k vrcholu
$h_{s}$ -- výška boční stěny (apotéma) -- výška trojúhelníkové boční stěny vedená z vrcholu jehlanu k základně boční stěny
$S_{p}$ -- obsah podstavy

Pozor: Nezaměňuj výšku jehlanu $h$ a výšku boční stěny $h_{s}$ ! Jsou to různé rozměry.

Vzorce pro jehlan

Objem jehlanu

Objem jehlanu je třetina objemu hranolu se stejnou podstavou a výškou:

V = \frac{1}{3} S_{p} \cdot h

Pro pravidelný čtyřboký jehlan (podstava je čtverec o straně $a$ ):

V = \frac{1}{3} a^{2} \cdot h

Plášť jehlanu

Plášť pravidelného jehlanu je součet všech bočních trojúhelníkových stěn. Pro pravidelný $n$ -boký jehlan:

S_{pl} = \frac{n \cdot a \cdot h _{s}}{2}

Pro pravidelný čtyřboký jehlan ( $n = 4$ ):

S_{pl} = \frac{4 \cdot a \cdot h _{s}}{2} = 2 a \cdot h_{s}

Celkový povrch

S = S_{p} + S_{pl}

Pro pravidelný čtyřboký jehlan:

S = a^{2} + 2 a \cdot h_{s}

Zapamatuj si: Jehlan má jen jednu podstavu (na rozdíl od hranolu, který má dvě).

Příklad 1: Objem čtyřbokého jehlanu

Zadání: Vypočítej objem pravidelného čtyřbokého jehlanu s hranou podstavy

a = 6

cm a výškou

h = 9

cm. Řešení:

Obsah podstavy (čtverec):

S_{p} = a^{2} = 6^{2} = 36 cm^{2}

Objem:

V = \frac{1}{3} S_{p} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 9 = \frac{324}{3} = 108 cm^{3}

Příklad 2: Povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu

Zadání: Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu s hranou podstavy

a = 10

cm a výškou boční stěny

h_{s} = 13

cm. Řešení:

Obsah podstavy:

S_{p} = a^{2} = 1 0^{2} = 100 cm^{2}

Plášť -- čtyři shodné trojúhelníky:

S_{pl} = 2 a \cdot h_{s} = 2 \cdot 10 \cdot 13 = 260 cm^{2}

Celkový povrch:

S = S_{p} + S_{pl} = 100 + 260 = 360 cm^{2}

Příklad 3: Výška jehlanu z objemu

Zadání: Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu je

V = 200 cm^{3}

a hrana podstavy je

a = 5

cm. Jaká je výška jehlanu? Řešení:

Vyjádříme $h$ ze vzorce:

V = \frac{1}{3} a^{2} \cdot h

h = \frac{3 V}{a ^{2}}

Dosadíme:

h = \frac{3 \cdot 200}{5 ^{2}} = \frac{600}{25} = 24 cm

Pythagorova věta u jehlanu

U pravidelného čtyřbokého jehlanu platí důležitý vztah mezi výškou jehlanu $h$ , výškou boční stěny $h_{s}$ a polovinou strany podstavy $a /2$ :

h_{s}^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}

Tento vztah vyplývá z pravoúhlého trojúhelníku, který vznikne řezem jehlanu přes vrchol a střed strany podstavy.

Příklad: Pravidelný čtyřboký jehlan má

a = 8

cm a

h = 12

cm. Jaká je výška boční stěny?

h_{s} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = 1 2^{2} + 4^{2} = 144 + 16 = 160 \approx 12, 65 cm

Poznámka: Pro výpočet boční hrany $b$ (od vrcholu k rohu podstavy) platí jiný vztah s úhlopříčkou podstavy: $b^{2} = h^{2} + (\frac{a 2}{2})^{2}$ .

Časté chyby

Zapomenutí na $\frac{1}{3}$ -- objem jehlanu je třetina objemu hranolu, ne celý
Záměna $h$ a $h_{s}$ -- výška jehlanu a výška boční stěny jsou různé rozměry
Zapomenutí na podstavu -- povrch jehlanu = podstava + plášť
Špatné použití Pythagorovy věty -- ujisti se, že pracuješ se správným pravoúhlým trojúhelníkem
Nesprávné jednotky -- povrch v $cm^{2}$ , objem v $cm^{3}$

Cvičení a související články

Cvičení

Objem jehlanu -- procvič si výpočet objemu
Povrch jehlanu -- procvič si výpočet povrchu
Smíšené úlohy -- jehlan -- různé typy úloh

Související články

Povrch a objem těles -- úvod
Povrch a objem válce
Povrch a objem kužele -- kužel je „kulatý jehlan"
Povrch a objem koule
Přehled vzorců
Pythagorova věta -- klíčová pro výpočet $h_{s}$