Povrch a objem válce

Válec je jedno z nejčastěji se vyskytujících těles v běžném životě -- plechovky, trubky, sloupy, svíčky. V tomto článku se naučíš vypočítat jeho povrch a objem krok za krokem.

Obsah článku

Co je válec?
Diagram válce
Vzorce pro válec
Příklad 1: Povrch válce
Příklad 2: Objem válce
Příklad 3: Najdi poloměr
Síť válce
Časté chyby
Cvičení a související články

Co je válec?

Válec (rotační válec) je prostorové těleso, které vznikne rotací obdélníku kolem jedné jeho strany. Skládá se z:

Dvou kruhových podstav -- horní a dolní, obě mají poloměr $r$
Pláště -- zakřivená boční plocha, která spojuje obě podstavy

Důležité rozměry:

$r$ -- poloměr podstavy
$h$ -- výška válce (kolmá vzdálenost mezi podstavami)

Diagram válce

← 2r → h ↑↓

Válec má dvě stejné kruhové podstavy (nahoře a dole) spojené zakřiveným pláštěm.

Vzorce pro válec

Obsah podstavy

Podstava válce je kruh s poloměrem $r$ :

S_{p} = π r^{2}

Plášť válce

Kdybys plášť válce „rozstřihl" a rozložil, dostal bys obdélník o šířce $2 π r$ (obvod podstavy) a výšce $h$ :

S_{pl} = 2 π r h

Celkový povrch

Povrch válce je součet dvou podstav a pláště:

S = 2 \cdot S_{p} + S_{pl} = 2 π r^{2} + 2 π r h

Můžeme vytknout $2 π r$ :

S = 2 π r (r + h)

Objem válce

Objem válce je obsah podstavy krát výška:

V = S_{p} \cdot h = π r^{2} h

Zapamatuj si: Povrch = 2 kruhy + plášť. Objem = kruh krát výška.

Příklad 1: Povrch válce

Zadání: Vypočítej povrch válce s poloměrem

r = 5

cm a výškou

h = 10

cm. Řešení:

Nejprve si vypočítáme obsah jedné podstavy:

S_{p} = π r^{2} = π \cdot 5^{2} = 25 π \approx 78, 54 cm^{2}

Potom plášť:

S_{pl} = 2 π r h = 2 π \cdot 5 \cdot 10 = 100 π \approx 314, 16 cm^{2}

A celkový povrch:

S = 2 \cdot S_{p} + S_{pl} = 2 \cdot 25 π + 100 π = 50 π + 100 π = 150 π

S = 150 π \approx 471, 24 cm^{2}

Ověření pomocí vzorce:

S = 2 π r (r + h) = 2 π \cdot 5 \cdot (5 + 10) = 2 π \cdot 5 \cdot 15 = 150 π \approx 471, 24 cm^{2}

✓

Příklad 2: Objem válce

Zadání: Vypočítej objem válce s poloměrem

r = 3

cm a výškou

h = 8

cm. Řešení:

Použijeme vzorec pro objem:

V = π r^{2} h

Dosadíme:

V = π \cdot 3^{2} \cdot 8 = π \cdot 9 \cdot 8 = 72 π

V = 72 π \approx 226, 19 cm^{3}

Do tohoto válce by se tedy vešlo přibližně $226, 19 cm^{3} \approx 0, 226$ litru vody.

Příklad 3: Najdi poloměr

Zadání: Objem válce je

V = 500 cm^{3}

a jeho výška je

h = 10

cm. Jaký je poloměr podstavy? Řešení:

Vycházíme ze vzorce pro objem a vyjádříme $r$ :

V = π r^{2} h

r^{2} = \frac{V}{π h}

r = \frac{V}{π h}

Dosadíme:

r = \frac{500}{π \cdot 10} = \frac{500}{10 π} = \frac{50}{π}

r = \frac{50}{3 , 14159} = 15, 915 \approx 3, 99 cm

r \approx 4, 0 cm

Síť válce

Kdybys válec rozstřihl a rozložil na plochu, dostal bys síť válce, která se skládá z:

Dvou kruhů -- horní a dolní podstava, oba s poloměrem $r$
Jednoho obdélníku -- plášť, jehož:

- šířka = obvod podstavy = $2 π r$

- výška = výška válce = $h$

2πr × h

Pochopení sítě válce ti pomůže zapamatovat si vzorec na povrch -- jednoduše sečteš obsahy všech tří částí.

Časté chyby

Zapomínání na dvě podstavy -- povrch válce obsahuje dva kruhy, ne jeden. Plášť samotný není celý povrch.
Záměna průměru a poloměru -- pokud je v zadání průměr $d$ , poloměr je $r = d /2$ . Do vzorců vždy dosazuj $r$ .
Nesprávné jednotky -- povrch je v $cm^{2}$ , objem v $cm^{3}$ .
Zaokrouhlování $π$ -- pokud to zadání nevyžaduje, nechej výsledek ve tvaru s $π$ (např. $150 π cm^{2}$ ). Je to přesnější.

Cvičení a související články

Cvičení

Povrch válce -- procvič si výpočet povrchu
Objem válce -- procvič si výpočet objemu
Smíšené úlohy -- válec -- různé typy úloh

Související články

Povrch a objem těles -- úvod
Povrch a objem kužele -- kužel má s válcem hodně společného
Povrch a objem koule
Povrch a objem jehlanu
Přehled vzorců
Pythagorova věta -- využiješ u kužele a jehlanu