Povrch a objem kužele

Kužel je rotační těleso, které vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné jeho odvěsny. Setkáš se s ním u zmrzlinových kornoutků, dopravních kuželů nebo střech věží. V tomto článku se naučíš vypočítat jeho povrch a objem.

Obsah článku

Co je kužel?
Důležité rozměry
Vzorce pro kužel
Příklad 1: Objem kužele
Příklad 2: Povrch kužele
Příklad 3: Tvořicí úsečka z rozměrů
Příklad 4: Poloměr z objemu
Síť kužele
Časté chyby
Cvičení a související články

Co je kužel?

Kužel (rotační kužel) je prostorové těleso, které má:

Jednu kruhovou podstavu s poloměrem $r$
Zakřivený plášť -- sbíhá se z okraje podstavy do jednoho bodu
Vrchol -- bod, ve kterém se plášť sbíhá

Kužel si můžeš představit jako „kulatý jehlan" -- místo mnohoúhelníkové podstavy má kruh.

Důležité rozměry

$r$ -- poloměr podstavy
$h$ -- výška kužele -- kolmá vzdálenost od podstavy k vrcholu
$s$ -- tvořicí úsečka (strana pláště) -- vzdálenost od okraje podstavy k vrcholu po povrchu kužele

Mezi těmito rozměry platí Pythagorova věta:

s^{2} = r^{2} + h^{2}

s = r^{2} + h^{2}

Tvořicí úsečka $s$ , poloměr $r$ a výška $h$ tvoří pravoúhlý trojúhelník.

Vzorce pro kužel

Obsah podstavy

S_{p} = π r^{2}

Plášť kužele

Plášť kužele po rozvinutí tvoří kruhovou výseč. Jeho obsah je:

S_{pl} = π r s

kde $s$ je tvořicí úsečka.

Celkový povrch

S = S_{p} + S_{pl} = π r^{2} + π r s

Můžeme vytknout $π r$ :

S = π r (r + s)

Objem kužele

Objem kužele je třetina objemu válce se stejnou podstavou a výškou:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

Zapamatuj si: Kužel = třetina válce. Povrch = kruh + plášť (kruhová výseč).

Příklad 1: Objem kužele

Zadání: Vypočítej objem kužele s poloměrem

r = 4

cm a výškou

h = 9

cm. Řešení:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 4^{2} \cdot 9 = \frac{1}{3} π \cdot 16 \cdot 9 = \frac{144 π}{3} = 48 π

V = 48 π \approx 150, 80 cm^{3}

Příklad 2: Povrch kužele

Zadání: Vypočítej povrch kužele s poloměrem

r = 3

cm a výškou

h = 4

cm. Řešení:

Nejprve musíme najít tvořicí úsečku $s$ :

s = r^{2} + h^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5 cm

Obsah podstavy:

S_{p} = π r^{2} = π \cdot 9 = 9 π \approx 28, 27 cm^{2}

Plášť:

S_{pl} = π r s = π \cdot 3 \cdot 5 = 15 π \approx 47, 12 cm^{2}

Celkový povrch:

S = S_{p} + S_{pl} = 9 π + 15 π = 24 π

S = 24 π \approx 75, 40 cm^{2}

Ověření:

S = π r (r + s) = π \cdot 3 \cdot (3 + 5) = π \cdot 3 \cdot 8 = 24 π \approx 75, 40 cm^{2}

✓

Příklad 3: Tvořicí úsečka z rozměrů

Zadání: Kužel má poloměr

r = 6

cm a výšku

h = 8

cm. Urči délku tvořicí úsečky. Řešení:

Použijeme Pythagorovu větu:

s = r^{2} + h^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10 cm

Všimni si, že $6$ , $8$ , $10$ je pythagorejská trojice ( $3 \cdot 2$ , $4 \cdot 2$ , $5 \cdot 2$ ).

Příklad 4: Poloměr z objemu

Zadání: Objem kužele je

V = 300 π cm^{3}

a výška je

h = 25

cm. Jaký je poloměr podstavy? Řešení:

Vyjádříme $r$ ze vzorce pro objem:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

r^{2} = \frac{3 V}{π h}

Dosadíme ( $V = 300 π$ ):

r^{2} = \frac{3 \cdot 300 π}{π \cdot 25} = \frac{900 π}{25 π} = \frac{900}{25} = 36

r = 36 = 6 cm

Síť kužele

Síť kužele se skládá z:

Kruhu -- podstava s poloměrem $r$
Kruhové výseče -- plášť s poloměrem $s$ (tvořicí úsečka) a obloukem délky $2 π r$

výseč (s)

Úhel kruhové výseče závisí na poměru $r / s$ :

α = \frac{r}{s} \cdot 360°

Časté chyby

Zapomenutí na $\frac{1}{3}$ -- objem kužele je třetina objemu válce, ne celý
Záměna $h$ a $s$ -- výška kužele a tvořicí úsečka jsou různé rozměry. Do vzorce pro plášť patří $s$ , do objemu $h$
Zapomenutí na podstavu -- povrch kužele = podstava + plášť (ne pouze plášť)
Záměna průměru a poloměru -- pokud je zadán průměr, nezapomeň vydělit dvěma
Nesprávné jednotky -- povrch v $cm^{2}$ , objem v $cm^{3}$

Cvičení a související články

Cvičení

Objem kužele -- procvič si výpočet objemu
Povrch kužele -- procvič si výpočet povrchu
Smíšené úlohy -- kužel -- různé typy úloh

Související články

Povrch a objem těles -- úvod
Povrch a objem válce -- válec je „plný kužel"
Povrch a objem jehlanu -- jehlan je „hranatý kužel"
Povrch a objem koule
Přehled vzorců
Pythagorova věta -- klíčová pro výpočet tvořicí úsečky