Povrch a objem koule

Koule je dokonale symetrické těleso -- míče, planety, bubliny. Na rozdíl od ostatních těles nemá žádnou podstavu ani plášť v obvyklém smyslu. Celý její povrch je jedna zakřivená plocha. V tomto článku se naučíš vypočítat její povrch a objem.

Obsah článku

Co je koule?
Vzorce pro kouli
Příklad 1: Povrch koule
Příklad 2: Objem koule
Příklad 3: Poloměr z objemu
Příklad 4: Porovnání s válcem
Zajímavosti o kouli
Časté chyby
Cvičení a související články

Co je koule?

Koule je prostorové těleso, které vznikne rotací kruhu (přesněji půlkruhu) kolem jeho průměru. Všechny body na povrchu koule mají stejnou vzdálenost od středu -- tato vzdálenost je poloměr

r

Důležité pojmy:

$r$ -- poloměr koule
$d = 2 r$ -- průměr koule
Střed -- bod uvnitř koule, stejně vzdálený od všech bodů povrchu

Vzorce pro kouli

Povrch koule

Povrch koule je roven čtyřem obsahům velkého kruhu:

S = 4 π r^{2}

Zajímavost: Povrch koule je přesně 4krát větší než obsah kruhu se stejným poloměrem.

Objem koule

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Zapamatuj si: Povrch: $4 π r^{2}$ . Objem: $\frac{4}{3} π r^{3}$ . Ve vzorci pro povrch je $r^{2}$ , ve vzorci pro objem $r^{3}$ .

Příklad 1: Povrch koule

Zadání: Vypočítej povrch koule s poloměrem

r = 7

cm. Řešení:

S = 4 π r^{2} = 4 π \cdot 7^{2} = 4 π \cdot 49 = 196 π

S = 196 π \approx 615, 75 cm^{2}

Příklad 2: Objem koule

Zadání: Vypočítej objem koule s průměrem

d = 12

cm. Řešení:

Nejprve určíme poloměr:

r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 cm

Pak dosadíme do vzorce:

V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 6^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 216 = \frac{864}{3} π = 288 π

V = 288 π \approx 904, 78 cm^{3}

To je přibližně $0, 905$ litru.

Příklad 3: Poloměr z objemu

Zadání: Objem koule je

V = 500 cm^{3}

. Jaký je poloměr? Řešení:

Vyjádříme $r$ ze vzorce:

V = \frac{4}{3} π r^{3}

r^{3} = \frac{3 V}{4 π}

r = 3 \frac{3 V}{4 π}

Dosadíme:

r = 3 \frac{3 \cdot 500}{4 π} = 3 \frac{1500}{4 \cdot 3 , 14159} = 3 \frac{1500}{12 , 566} = 3 119, 37

r \approx 4, 92 cm

Příklad 4: Porovnání s válcem

Zadání: Koule s poloměrem

r = 5

cm je vepsána do válce (válec má stejný poloměr a výšku

h = 2 r = 10

cm). Porovnej jejich objemy. Řešení:

Objem koule:

V_{k} = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 125 = \frac{500 π}{3} \approx 523, 60 cm^{3}

Objem válce:

V_{v} = π r^{2} h = π \cdot 25 \cdot 10 = 250 π \approx 785, 40 cm^{3}

Poměr:

\frac{V _{k}}{V _{v}} = \frac{\frac{4}{3} π r ^{3}}{π r ^{2} \cdot 2 r} = \frac{\frac{4}{3} r ^{3}}{2 r ^{3}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Závěr: Objem koule je přesně dvě třetiny objemu opsaného válce. Tento krásný vztah objevil už Archimédés.

Zajímavosti o kouli

Archimédés považoval vztah $V_{koule} = \frac{2}{3} V_{v \overset{a}{ˊ} lce}$ za svůj největší objev
Koule má ze všech těles se stejným objemem nejmenší povrch -- proto jsou bubliny kulaté
Země není dokonalá koule, je mírně zploštělá na pólech (geoid)
Povrch koule nelze bez zkreslení rozvinout do roviny -- proto jsou všechny mapy světa zkreslené

Časté chyby

Záměna průměru a poloměru -- pokud je zadán průměr $d$ , nezapomeň: $r = d /2$
Zapomenutí na $\frac{4}{3}$ u objemu -- objem koule je $\frac{4}{3} π r^{3}$ , ne $\frac{4}{3} π r^{2}$ ani $4 π r^{3}$
Záměna vzorců pro povrch a objem -- povrch má $r^{2}$ , objem má $r^{3}$
Špatné mocniny -- $r^{3}$ znamená $r \cdot r \cdot r$ , ne $3 r$
Nesprávné jednotky -- povrch v $cm^{2}$ , objem v $cm^{3}$

Cvičení a související články

Cvičení

Povrch koule -- procvič si výpočet povrchu
Objem koule -- procvič si výpočet objemu
Smíšené úlohy -- koule -- různé typy úloh

Povrch a objem koule

Povrch a objem koule

Obsah článku

Co je koule?

Vzorce pro kouli

Povrch koule

Objem koule

Příklad 1: Povrch koule

Příklad 2: Objem koule

Příklad 3: Poloměr z objemu

Příklad 4: Porovnání s válcem

Zajímavosti o kouli

Časté chyby

Cvičení a související články

Cvičení

Související články