Povrch a objem těles – přehled vzorců

Povrch a objem těles -- přehled vzorců

Všechny důležité vzorce pro výpočet povrchu a objemu prostorových těles přehledně na jednom místě.

Obsah článku

Válec
Jehlan
Kužel
Koule
Souhrnná tabulka
Tipy k zapamatování
Související články

Válec

Veličina	Vzorec
Obsah podstavy	$S_{p} = π r^{2}$
Plášť	$S_{pl} = 2 π r h$
Povrch	$S = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r (r + h)$
Objem	$V = π r^{2} h$

Podrobně: Povrch a objem válce

Jehlan

Pro pravidelný čtyřboký jehlan (podstava = čtverec o straně $a$ ):

Veličina	Vzorec
Obsah podstavy	$S_{p} = a^{2}$
Plášť	$S_{pl} = 2 a \cdot h_{s}$
Povrch	$S = a^{2} + 2 a \cdot h_{s}$
Objem	$V = \frac{1}{3} a^{2} h$
Pythagorova věta	$h_{s} = h^{2} + (a /2)^{2}$

Pro obecný jehlan s podstavou o obsahu $S_{p}$ :

V = \frac{1}{3} S_{p} \cdot h

Podrobně: Povrch a objem jehlanu

Kužel

Veličina	Vzorec
Obsah podstavy	$S_{p} = π r^{2}$
Plášť	$S_{pl} = π r s$
Povrch	$S = π r^{2} + π r s = π r (r + s)$
Objem	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$
Pythagorova věta	$s = r^{2} + h^{2}$

Podrobně: Povrch a objem kužele

Koule

Veličina	Vzorec
Povrch	$S = 4 π r^{2}$
Objem	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Podrobně: Povrch a objem koule

Souhrnná tabulka

Těleso	Povrch	Objem
Válec	$2 π r (r + h)$	$π r^{2} h$
Jehlan (čtyřboký)	$a^{2} + 2 a h_{s}$	$\frac{1}{3} a^{2} h$
Kužel	$π r (r + s)$	$\frac{1}{3} π r^{2} h$
Koule	$4 π r^{2}$	$\frac{4}{3} π r^{3}$

Tipy k zapamatování

Jehlan a kužel mají objem = $\frac{1}{3}$ odpovídajícího hranolu/válce
Povrch = podstavy + plášť (u koule je celý povrch „plášť")
Válec má 2 podstavy, jehlan a kužel mají 1 podstavu, koule nemá žádnou
U kužele potřebuješ tvořicí úsečku $s$ pro plášť, ale výšku $h$ pro objem
Pythagorova věta je klíčová u kužele ( $s^{2} = r^{2} + h^{2}$ ) a jehlanu ( $h_{s}^{2} = h^{2} + (a /2)^{2}$ )
Koule vepsaná do válce -- objem koule = $\frac{2}{3}$ objemu válce

Související články