Lineární funkce

Lineární funkce je nejdůležitější typ funkce na základní škole. Jejím grafem je přímka a setkáš se s ní v mnoha úlohách. V tomto článku se naučíš vše, co o ní potřebuješ vědět.

Obsah článku

Co je lineární funkce
Parametr k – směrnice
Parametr q – průsečík s osou y
Jak nakreslit graf
Speciální případy
Rostoucí a klesající funkce
Rovnoběžné přímky
Porovnání grafů
Jak zjistit předpis z grafu
Procvičování

Co je lineární funkce

Lineární funkce je funkce tvaru:

y = k x + q

kde:

$k$ je směrnice (slope) – udává sklon přímky
$q$ je absolutní člen – udává průsečík s osou $y$

Grafem lineární funkce je vždy přímka.

Parametr k – směrnice

Směrnice $k$ říká, o kolik se změní $y$ , když $x$ vzroste o $1$ .

k = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

$k > 0$ → přímka stoupá zleva doprava (rostoucí funkce)
$k < 0$ → přímka klesá zleva doprava (klesající funkce)
$k = 0$ → přímka je vodorovná (konstantní funkce)
$∣ k ∣$ velké → přímka je strmá
$∣ k ∣$ malé → přímka je pozvolná

Příklady:

$y = 3 x + 1$ : směrnice $k = 3$ (strmá, rostoucí)
$y = 0, 5 x - 2$ : směrnice $k = 0, 5$ (pozvolná, rostoucí)
$y = - 2 x + 4$ : směrnice $k = - 2$ (strmá, klesající)

Parametr q – průsečík s osou y

Parametr $q$ je hodnota funkce v bodě $x = 0$ :

f (0) = k \cdot 0 + q = q

Průsečík s osou $y$ je bod $[0, q]$ .

Příklady:

$y = 2 x + 3$ : průsečík s osou $y$ je bod $[0, 3]$
$y = - x - 1$ : průsečík s osou $y$ je bod $[0, - 1]$
$y = 5 x$ : průsečík s osou $y$ je bod $[0, 0]$ → prochází počátkem

Jak nakreslit graf

Na nakreslení přímky stačí 2 body (třetí pro kontrolu):

Metoda 1: Tabulka

Zvol 2–3 hodnoty $x$ (např. $0, 1, 2$ )
Vypočítej $f (x)$ pro každé $x$
Nanes body do soustavy souřadnic
Spoj je přímkou

Metoda 2: Průsečík + směrnice

Nakresli bod $[0, q]$ (průsečík s osou $y$ )
Z tohoto bodu se posuň o $1$ doprava a o $k$ nahoru (pokud $k > 0$ ) nebo dolů (pokud $k < 0$ )
Spoj body přímkou

Příklad:

f (x) = 2 x + 1

$x$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$1$	$3$	$5$

💡 Červené čáry ukazují směrnici: posuň se o $1$ doprava (+1 na ose $x$ ) a o $2$ nahoru (+2 na ose $y$ ). Směrnice $k = 2$ .

Speciální případy

q = 0 → přímá úměrnost

Pokud $q = 0$ , lineární funkce se zredukuje na $y = k x$ – přímou úměrnost.

Graf prochází počátkem $[0, 0]$ .

👉 Podrobněji: Přímá úměrnost

k = 0 → konstantní funkce

Pokud $k = 0$ , funkce se zredukuje na $y = q$ – konstantní funkci.

Graf je vodorovná přímka procházející bodem $[0, q]$ .

k = 0 a q = 0

Funkce $y = 0$ . Graf splývá s osou $x$ .

Rostoucí a klesající funkce

Podmínka	Typ	Graf
$k > 0$	rostoucí	stoupá zleva doprava
$k < 0$	klesající	klesá zleva doprava
$k = 0$	konstantní	vodorovná přímka

Rovnoběžné přímky

Dvě lineární funkce mají rovnoběžné grafy, pokud mají stejnou směrnici $k$ .

Příklad:

y = 2 x + 1

y = 2 x - 3

jsou rovnoběžné (obě mají

k = 2

Rovnoběžné přímky se nikdy neprotnou (mají stejný sklon, liší se jen posunem).

Porovnání grafů

Porovnejme tři funkce s různými směrnicemi: $y = 2 x + 1$ , $y = - x + 2$ , $y = 0, 5 x - 1$

Funkce	$k$	$q$	Typ	Průsečík s osou $y$
$y = 2 x + 1$	$2$	$1$	rostoucí, strmá	$[0, 1]$
$y = - x + 2$	$- 1$	$2$	klesající	$[0, 2]$
$y = 0, 5 x - 1$	$0, 5$	$- 1$	rostoucí, pozvolná	$[0, - 1]$

Jak zjistit předpis z grafu

Pokud máš graf a chceš zjistit předpis $y = k x + q$ :

Krok 1: Zjisti q

Najdi bod, kde graf protíná osu $y$ . Souřadnice $y$ tohoto bodu je $q$ .

Krok 2: Zjisti k

Najdi dva body na přímce, např. $[x_{1}, y_{1}]$ a $[x_{2}, y_{2}]$ .

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Příklad

Graf protíná osu $y$ v bodě $[0, - 2]$ a prochází bodem $[3, 4]$ .

$q = - 2$
$k = \frac{4 - ( - 2 )}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2$
Předpis: $y = 2 x - 2$

Procvičování

Nakresli graf $y = - 2 x + 4$ a urči průsečíky s oběma osami
Urči předpis lineární funkce, která prochází body $[1, 5]$ a $[3, 11]$
Jsou přímky $y = 3 x + 1$ a $y = 3 x - 7$ rovnoběžné?
Nakresli do jednoho grafu: $y = x + 2$ , $y = x - 1$ , $y = - x + 2$

Interaktivní cvičení:

📖 Další články v tématu Funkce:
Funkce - Kompletní průvodce
Přímá úměrnost
Nepřímá úměrnost
Funkce - Zobrazení v grafu
Definiční obor funkce
Obor hodnot funkce
Přehled vzorců a pojmů

Lineární funkce (8. a 9. ročník) – vysvětlení, graf a příklady